Çevrel çember

Öklid düzleminde, bir çevrel çember denklemi ait olduğu üçgeninin köşelerinin Kartezyen koordinatlarından elde edilebilir. Buna göre

${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{x},B_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}$

A, B ve C noktalarının koordinatları olarak alınsın. Burada çevrel çember, Kartezyen düzlemde geometrik yeri aşağıdaki denklemleri sağlayan v = (v_x,v_y) noktalarıdır.

${\displaystyle |\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

Denklemlerle A, B, C ve v'nin, çemberin merkezi u' dan eşit r² uzaklıkta olması sağlanır. Kutuplanma özdeşliği kullanılarak denklemler

${\displaystyle {\begin{vmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{vmatrix}}}$

matrisine indirgenebilir. Böylece çevrel çember, matris determinantının sıfırlarının geometrik yeriyle ifade edilir:

${\displaystyle \det {\begin{vmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Kofaktör açılımı ile,

${\displaystyle \quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle a=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad b=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{vmatrix}}}$

a|v|² − 2Sv − b = 0 elde edilir ve üç noktanın doğrusal olmadığı varsayımıyla (aksi durumda çevrel çember S'nin sonsuzda olduğu bir doğru halini alır), |v − S/a|^{2 = b/a + |S|2/a2, S/a çevrel çember merkezi ve √ (b/a + |S|2/a2) yarıçapı hesaplanır. Benzer yaklaşımla bir dörtyüzlünün çevrel küre denklemi de bulunabilir.}

Çevrel çemberin trilineer koordinatlarla ifade edilmiş bir denklemi x : y : z is a/x + b/y + c/z = 0 ve barisentrik koordinatlarla ifade edilmiş bir denklemi x : y : z is a²/x + b²/y + c²/z = 0 şeklindedir.

Çevrel çemberin izogonal işleniği sonsuzdaki doğrudur; trilineer koordinatlarla ax + by + cz = 0 ve barisentrik koordinatlarla x + y + z = 0 olarak gösterilebilir.

Bunun yanında, d boyuttaki bir üçgenin çevrel çemberi, genelleştirilmiş bir yöntemle bulunabilir. A, B ve C üçgenin köşelerini ifade eden d-boyutlu noktalar olsun. İşlemler C orijine taşınarak başlar:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} -\mathbf {C} ,}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {B} -\mathbf {C} .}$

Çevrel çemberin yarıçapı, r,

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

burada θ a ve b arasındaki iç açıdır. Çevrel çemberin merkezi, p₀,

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

şeklinde ifade edilebilir.

Çevrel çember merkezinin Kartezyen koordinatları

${\displaystyle ((A_{y}^{2}+A_{x}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{y}^{2}+B_{x}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{y}^{2}+C_{x}^{2})(A_{y}-B_{y}))/D,}$

${\displaystyle ((A_{y}^{2}+A_{x}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{y}^{2}+B_{x}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{y}^{2}+C_{x}^{2})(B_{x}-A_{x}))/D}$

ve

${\displaystyle D=2(A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})).\,}$

Denklemler, genelleştirilmiş durum kaybolmadan, A köşesi Kartezyen koordinat sisteminin orijinine taşınarak yazılabilir; yani ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0)}$ alınır. Bu durumda köşe koordinatları B' = B − A and C' = C − A A''dan köşelere çizilmiş vektörleri gösteren. Bu üçgensel çeviri tüm üçgenler için geçerlidir ve A'B'C' üçgeninin çevrel çemberinin merkez koordinatları şöyledir:

${\displaystyle (C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2}))/D',\,}$

${\displaystyle (B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2}))/D'\,}$

burada

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

Çevrel çemberin merkezi barisentrik koordinatlarla

${\displaystyle \left(a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}),\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}),\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right),\,}$[3]

ifade edilir. Burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarını (sırasıyla BC, CA, AB) göstermektedir.

Öklid uzayında alınan, doğrusal olmayan herhangi P₁, P₂, ve P₃ noktasından geçen bir çember bulunur. Kartezyen koordinatlar kullanılarak bu noktalar vektör olarak yazılırsa, vektörel çarpım ve skaler çarpımla çevrel çember yarıçapı ile merkezi hesaplanabilir.

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}.}$

olsun. Bu noktalardan geçecek çemberin yarıçapı şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}.}$

Çemberin merkezi ise lineer kombinasyonla:

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

şeklinde gösterilir. Burada

${\displaystyle \alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}.}$