Menelaus teoremi

Menelaus teoremi, durum 2: DEF doğrusu ABC üçgeninin tamamen dışındadır.

Aşağıda teoremin pek çok ispatından bir tanesi verilmiştir. Öncelikle, denklemin sol tarafının işareti kontrol edilebilir. ${\displaystyle DEF}$ çizgisi ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin kenarlarını çift sayıda kesmelidir - üçgenin içinden geçerse iki kere (üst resim), ya da üçgenin içinden geçmezse sıfır kere (alt resim) (Pasch aksiyomu)-. Dolayısıyla daima tek sayıda eksi değer olacağından sonuç eksi olacaktır.

Daha sonra büyüklük kontrol edilebilir. DEF doğrusunu ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$ köşelerine birleştiren dikmeler oluşturalım. ${\displaystyle DEF}$'yi taban kabul edelim ve ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$ dikmelerinin yüksekliklerini ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ve ${\displaystyle c}$ olarak tanımlayalım. Benzer üçgenler kullanılarak denklemin sol tarafı aşağıdaki gibi sadeleşir:

${\displaystyle \,\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.}$

Son olarak teoremin denkleminin doğruluğu durumunda ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ noktalarının doğrusal olması gerektiği çelişki kullanılarak ispatlanabilir. ${\displaystyle AB}$ kenarı üzerinde ${\displaystyle F}$'den farklı bir ${\displaystyle F'}$ noktası olduğunu varsayalım ve ${\displaystyle AF}$, ${\displaystyle AF'}$ ve ${\displaystyle AB}$ doğru parçalarının uzunluklarını ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n'}$ ve ${\displaystyle s}$ olarak tanımlayalım. ${\displaystyle F'}$ noktasının da denklemi doğruladığını varsayalım. Bu durumda aşağıdaki kesirler eşit değerde olacaktır:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}}$

${\displaystyle {\frac {n}{s-n}}={\frac {n'}{s-n'}}}$

Bu da ${\displaystyle n=n'}$ eşitliğine sadeleşir. Bu da ${\displaystyle AB}$ doğrusu üzerinde yalnızca tek bir noktanın denklemi doğrulayabildiğini kanıtlar ve bu nokta da ${\displaystyle D}$ ve ${\displaystyle E}$ ile aynı doğru üzerinde bulunmalıdır. Simetriden dolayı aynı durum ${\displaystyle D}$ ve ${\displaystyle E}$ noktaları için de geçerlidir.

Batlamyus Almagest adlı eserinde Menelaus teoremini küresel trigonometri kuramının temeli olarak kullanmıştır.

• Ceva teoremi
• Kenarortay (geometri)

• "proof of Menelaus' theorem". 22 Aralık 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi., Menelaos teoreminin ispatı @PlanetMath
• "Menelaus From Ceva". 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi., Ceva'dan Menelaus'a @cut-the-knot.org
• "Ceva and Menelaus Meet on the Roads". 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi., Ceva ve Menelaus yolda karşılaşırlar @cut-the-knot.org
• "Menelaus and Ceva". MathPages. Erişim tarihi: 25 Ocak 2021.Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link)
• Warendorff, Jay. "Menelaus' Theorem". The Wolfram Demonstrations Project. 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi..