Trigonometri tarihi

Eski Mısırlılar ve Babilliler, benzer üçgenlerin kenarlarının oranları hakkındaki teoremleri yüzyıllardır biliyorlardı. Bununla birlikte, Helen öncesi toplumlar bir açı ölçüsü kavramından yoksun oldukları için, bunun yerine üçgenlerin kenarlarını çalışmakla sınırlıydılar.[9]

Babil gökbilimcileri, yıldızların yükselişi ve yerleşimi, gezegenlerin hareketi ile güneş ve ay tutulmaları hakkında ayrıntılı kayıtlar tuttu ve bunların tümü göksel küre üzerinde ölçülen açısal mesafelere aşinalık gerektirdi.[6] Plimpton 322 çivi yazılı tabletin (y. MÖ 1900) bir yorumuna dayanarak, bazıları eski Babillilerin sekant tablosuna sahip olduğunu iddia etti.[10] Bununla birlikte, bunun bir Pisagor üçlüleri tablosu mu, ikinci dereceden denklemlerin bir çözümü veya bir trigonometrik tablo olup olmadığı konusunda pek çok tartışma vardır.

Eski Mısır seked ölçüsünün Büyük Piramit'in eğimiyle karşılaştırmasının çizimi

Mısırlılar ise MÖ 2. binyılda Piramitleri inşa etmek için ilkel bir trigonometri biçimi kullandılar.[6] Mısırlı yazar Ahmes (MÖ 1680-1620) tarafından yazılan Rhind Matematik Papirüsü, trigonometri ile ilgili aşağıdaki problemi içerir:

Ahmes'in probleme çözümü, piramidin tabanının yarısının yüksekliğine oranı veya yüzünün yükselme oranıdır. Başka bir deyişle, seked için bulduğu miktar, piramidin tabanına ve yüzüne olan açının kotanjantıdır.[6]

Bir açının kirişi, açının yayının iki ucu arasına çizilen doğrudur.

Eski Yunan ve Helenistik matematikçiler kirişi kullandılar. Çember üzerinde bir çember ve bir yay verildiğinde, kiriş, yayın altında kalan doğrudur. Bir kirişin dikey açıortayı çemberin merkezinden geçer ve açıyı ikiye böler. İkiye bölünmüş kirişin yarısı, ikiye bölünmüş açının yarısının sinüsüdür, yani,

${\displaystyle \mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}$

ve sonuç olarak sinüs fonksiyonu, yarı-kiriş olarak da bilinir. Bu ilişki nedeniyle, günümüzde bilinen bazı trigonometrik özdeşlikler ve teoremler Helenistik matematikçiler tarafından da biliniyordu, ancak eşdeğer kiriş biçiminde.[11]

Öklid ve Arşimet'in eserlerinde trigonometri olmamasına rağmen, kelimenin tam anlamıyla, belirli trigonometrik yasalara veya formüllere eşdeğer, geometrik bir şekilde (trigonometrik bir şekilde değil) sunulan teoremler vardır.[9] Örneğin, Elemanların ikinci kitabının on iki ve on üçüncü önermeleri, sırasıyla geniş ve dar açılar için kosinüs yasalarıdır. Kiriş uzunlukları ile ilgili teoremler sinüs yasasının uygulamalarıdır. Ve Arşimet'in kırık kirişler üzerindeki teoremi, toplamların sinüsleri ve açıların farkları için formüllere eşdeğerdir. Bir kiriş tablosunun eksikliğini telafi etmek için, Aristarchus'un zamanındaki matematikçiler bazen 0° < β < α < 90° olduğu durumda modern notasyonda ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}}$ ifadesini kullanırlardı, şimdi bu ifade Aristarkus eşitsizliği olarak bilinir.[12]

İlk trigonometrik tablo görünüşe göre artık "trigonometrinin babası" olarak bilinen (Nicaealı - İznikli) Hipparchus (MÖ 180-125) tarafından derlendi.[13] Hipparchus, bir dizi açı için bu açılara karşılık gelen yay ve kiriş değerlerini tablo haline getiren ilk kişiydi.[7]

360° dairenin sistematik kullanımının matematiğe ne zaman geldiği bilinmemekle birlikte, 360° çemberin sistematik olarak tanıtılmasının, Samoslu Aristarchus'un On the Sizees and Distance of the Sun and Moon (y. MÖ 260) adlı eserinden bir süre sonra olduğu bilinmektedir, çünkü o bir açıyı bir kuadrantın kesri cinsinden ölçtü.[12] Görünüşe göre 360° çemberin sistematik kullanımı büyük ölçüde Hipparchus ve onun kirişler tablosundan kaynaklanmaktadır. Hipparchus bu bölünme fikrini, daha önce Babil astronomisinin önerdiği gibi günün bir bölümünü bulmak için günü 360 parçaya bölen Hipsicle'den almış olabilir.[14] Antik astronomide, zodyak on iki "burç (sign)" veya otuz altı "dekan (decan)" olarak bölünmüştü. Yaklaşık 360 günlük bir mevsimsel döngü, her burcu otuz parçaya ve her dekanı on parçaya bölerek burçların burç ve dekanına karşılık gelebilirdi.[8] Her derecenin altmış dakikaya bölünmesi ve her dakikanın altmış saniyeye bölünmesi, Babil'in altmışlık sayı sisteminden kaynaklanmaktadır.

Menelaus teoremi

İskenderiyeli Menelaus (y. MS 100) Sphaerica adlı eserini üç kitap olarak yazdı. Kitap I'de, düzlem üçgenler için Öklid temeline analoji ile küresel üçgenler için bir temel oluşturdu. Öklid analojisi olmayan, karşılık gelen açılar eşitse iki küresel üçgenin eş olduğu bir teorem kurdu, ancak eş ve simetrik küresel üçgenler arasında ayrım yapmadı. Kurduğu başka bir teorem, küresel bir üçgenin açılarının toplamının 180°'den büyük olmasıdır. Sphaerica II. kitapta, astronomiye küresel geometriyi uygular. Ve kitap III, "Menelaus teoremini" içerir.[11] Ayrıca ünlü "altı nicelik kuralını" verdi.[15]

Daha sonra, Batlamyus (Claudius Ptolemy) (y. 90 - y. MS 168), Almagest ya da Matematiksel Sözdizimi (Mathematical Syntaxis) adlı eserinde Hipparchus'un Kirişlerini Çembere genişletti. Almagest, öncelikle astronomi üzerine bir çalışmadır ve astronomi trigonometriye dayanır. Batlamyus'un kirişler tablosu, çemberin karşılık gelen yayındaki n derece ölçüsünün bir fonksiyonu olarak, n için 1/2 ila 180 arasında 1/2 artışlarla 120 çapındaki bir çemberin kirişlerinin uzunluklarını verir.[16] Almagest'in on üç kitabı, tüm antik çağların en etkili ve önemli trigonometrik çalışmasıdır.[17] Batlamyus'un kiriş hesaplamasının merkezinde yer alan bir teorem, bugün hala Batlamyus teoremi olarak bilinen şeydir; bir kirişler dörtgeninin zıt kenarlarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin çarpımına eşit olmasını ifade eder. Batlamyus teoreminin özel bir durumu Öklid'in Veriler’inde Önerme 93 olarak ortaya çıktı. Batlamyus teoremi, günümüzde Batlamyus formülleri olarak bilinen sinüs ve kosinüs için dört toplam ve fark formülünün eşdeğerine götürür, ancak Batlamyus'un kendisi sinüs ve kosinüs yerine kirişleri kullanmıştır. Batlamyus ayrıca yarım açı formülünün eşdeğerini türetmiştir;

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}$[17]

Batlamyus bu sonuçları trigonometrik tablolarını oluşturmak için kullandı, ancak bu tabloların Hipparchus'un çalışmasından türetilip türetilmediği belirlenemedi.[17]

Ne Hipparchus'un ne de Batlamyus'un tabloları günümüze kadar ulaşamamıştır, ancak diğer antik yazarların açıklamaları bir zamanlar var olduklarına dair çok az şüphe bırakmaktadır.[18]

Pisagor, trigonometrik fonksiyonlara dönüşecek birçok özelliği keşfetti. Pisagor teoremi, ${\displaystyle p^{2}+b^{2}=h^{2}}$, temel trigonometrik özdeşlik olan ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$ ifadesinin bir temsilidir. Uzunluk 1, herhangi bir dik üçgenin hipotenüsü, bacak uzunlukları ${\displaystyle \sin(x)}$ ve ${\displaystyle \cos(x)}$ ve ${\displaystyle x}$ ise iki dik olmayan açıdan biridir. Bunu akılda tutarak, trigonometrinin dayandığı özdeşliğin Pisagor Teoremi olduğu sonucu ortaya çıkar.

Trigonometrinin ilk ve çok önemli gelişmelerinden bazıları Hindistan'da gerçekleşti. Siddhanta olarak bilinen 4.–5. yüzyıldan etkileyici eserler (beş tane olmasına rağmen bunlardan en önemlisi Surya Siddhanta[19] idi) ilk önce sinüsü yarım açı ile yarım kiriş arasındaki modern ilişki olarak tanımlarken, aynı zamanda kosinüs, versinüs ve ters sinüsü tanımladı.[20] Kısa süre sonra, başka bir Hint matematikçi ve astronom olan Aryabhata (MS 476-550), Aryabhatiya adlı önemli bir çalışmada Siddhantas'ın ilerlemelerini topladı ve genişletti.[21] Siddhantas ve Aryabhatiya, 0° ila 90° arasındaki 3,75° aralıklarla 4 ondalık basamak doğrulukta, hayatta kalan en eski sinüs değerleri ve versinüs (1 - kosinüs) değerleri tablolarını içerir.[22] Onlar, sinüs için jya, kosinüs için kojya, ters sinüs için utkrama-jya ve versinüs için otkram jya sözcüklerin kullandılar. Jya ve kojya kelimeleri, yukarıda açıklanan bir yanlış tercüme sonrasında nihayetinde sırasıyla sinüs ve kosinüs haline geldi.

7. yüzyılda, Bhaskara I, bir tablo kullanmadan bir dar açının sinüsünü hesaplamak için bir formül üretti. Ayrıca, ${\displaystyle \sin(x)}$ için %1,9'dan daha az bağıl hataya sahip olan aşağıdaki yaklaşık hesaplama formülünü verdi:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}$

7. yüzyılın sonlarında, Brahmagupta formülü yeniden geliştirdi

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

(ayrıca yukarıda bahsedildiği gibi daha önce türetilmiştir) ve sinüs değerlerini hesaplamak için Brahmagupta interpolasyon formülünü verdi.[23]

Trigonometri üzerine daha sonraki bir Hint yazar, 12. yüzyılda Bhaskara II idi. Bhaskara II küresel trigonometriyi geliştirdi ve birçok trigonometrik sonuç keşfetti.

Bhaskara II, ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ve ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$ için aşağıdaki trigonometrik sonuçları ilk keşfedenlerden biriydi:

• ${\displaystyle \sin \left(a\pm b\right)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b}$
• ${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta \approx (\alpha -\beta )\cos \beta }$

Madhava (y. 1400), trigonometrik fonksiyonların ve bunların sonsuz dizi açılımlarının analizinde erken adımlar attı. Kuvvet serileri ve Taylor serileri kavramlarını geliştirdi ve sinüs, kosinüs, tanjant ve arktanjant kuvvet serileri açılımlarını üretti.[24][25] Taylor serisi sinüs ve kosinüs yaklaşımlarını kullanarak, 12 ondalık doğruluk basamağına sahip bir sinüs tablosu ve 9 ondalık doğruluk basamağına sahip bir kosinüs tablosu oluşturdu. Ayrıca π kuvvet serisini ve trigonometrik fonksiyonlar açısından bir çemberin açısını, yarıçapını, çapını ve çevresini verdi. Eserleri, 16. yüzyıla kadar Kerala Okulu'ndaki takipçileri tarafından genişletildi.[24][25]

No.	Seri	Ad	Serinin Batılı kaşifleri ve yaklaşık keşif tarihleri[26]
1	${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	Madhava sinüs serileri	Isaac Newton (1670) ve Wilhelm Leibniz (1676)
2	${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	Madhava kosinüs serileri	Isaac Newton (1670) ve Wilhelm Leibniz (1676)
3	${\displaystyle \arctan(x)=\tan ^{-1}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}}$	Madhava arktanjant serileri	James Gregory (1671) ve Wilhelm Leibniz (1676)

Hint metni Yuktibhāṣā, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının genişlemesini ve Madhava tarafından keşfedilen ters tanjant için kuvvet serisinin türetilmesini ve ispatını içerir. Yuktibhāṣā ayrıca toplamın sinüslerini ve kosinüslerini ve iki açının farkını bulmak için kurallar içerir.

Guo Shoujing (1231 – 1316)

Çin'de, Aryabhata'nın sinüs tablosu, Tang Hanedanlığı döneminde MS 718'de derlenen Kaiyuan Zhanjing'in Çin matematik kitabına çevrildi.[27] Çinliler katı geometri, binom teoremi ve karmaşık cebirsel formüller gibi matematiğin diğer alanlarında başarılı olsalar da, trigonometrinin erken biçimleri daha önceki Yunan, Helenistik, Hint ve İslam dünyalarında olduğu kadar yaygın olarak takdir edilmedi.[28] Bunun yerine, erken Çinliler, chong cha olarak bilinen deneysel bir ikame kullandılar, oysa sinüs, tanjant ve sekant kullanımında düzlem trigonometrinin pratik kullanımı biliniyordu. Bununla birlikte, Çin'deki bu embriyonik trigonometri durumu, Çinli matematikçilerin takvim bilimi ve astronomik hesaplamalarda küresel trigonometri ihtiyacına daha fazla vurgu yapmaya başladığı Song Hanedanlığı döneminde (960-1279) yavaş yavaş değişmeye ve ilerlemeye başladı. Birden çok konuda bilgili Çinli bilim adamı, matematikçi ve memur Shen Kuo (1031-1095), kiriş ve yayların matematiksel problemlerini çözmek için trigonometrik fonksiyonlar kullandı. Victor J. Katz, Shen'in "kesişen çemberler tekniği" formülünde, bir yay yaklaşımı yarattığını yazar; d çapı, sagitta v ve yayı oluşturan kirişin c uzunluğu verildiğinde bir çemberin s yayının uzunluğunu aşağıdaki şekilde yaklaşık olarak hesapladı[29]

${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}$

Sal Restivo Shen'in çalışmalarının, matematikçi ve astronom Guo Shoujing (1231-1316) tarafından 13. yüzyılda geliştirilen küresel trigonometrinin temelini oluşturduğunu yazıyor.[30] Tarihçiler L. Gauchet ve Joseph Needham'ın belirttiği gibi Guo Shoujing, takvim sistemini ve Çin astronomisini geliştirmek için hesaplamalarında küresel trigonometri kullandı.[27][31] Guo'nun matematiksel kanıtlarının 17. yüzyıldan sonraki bir Çin örneğiyle birlikte Needham şunları belirtir:

Shen ve Guo'nun trigonometri alanındaki çalışmalarının başarılarına rağmen, Çin trigonometrisindeki bir başka önemli çalışma, Çinli yetkili ve astronom Xu Guangqi (1562-1633) ve İtalyan Cizvit Matteo Ricci (1552-1610) tarafından Öklid'in Elemanları'nın dual olarak yayımlanmasıyla 1607 yılına kadar tekrar yayınlanmayacaktır.[33]

Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî'nin Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap (Arapça: El'Kitab'ül-Muhtasar fi Hısab'il Cebri ve'l-Mukabele, İngilizce: The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing) adlı eserinden bir sayfa (y. MS 820)

VIII. yüzyılda, Yakın ve Orta Doğu ülkelerinden bilim adamları, eski Yunan ve Hint matematikçiler ile astronomların eserleri ile tanıştılar. Önceki eserler daha sonra Orta çağ İslam dünyasında, çoğunlukla Fars ve Arap kökenli Müslüman matematikçiler tarafından çevrildi ve genişletildi. 8. yüzyılda İbrahim el-Fezari ve Yakub bin Tarık gibi büyük alimler bu eserleri Arapçaya çevirmekle uğraştılar. Sonra onlar ve takipçileri bu teoriler üzerinde aktif olarak yorum yapmaya ve kendi fikirleri ile yeni teoriler geliştirmeye başladılar. Bunlar, Helenistik matematikte olduğu gibi Menelaus teoreminin uygulanmasına, trigonometri konusunu tam dörtgene bağımlılıktan kurtaran çok sayıda teoremi dile getirdi. E. S. Kennedy'ye göre, İslam matematiğindeki bu gelişmeden sonra, "ilk gerçek trigonometri, ancak o zaman çalışmanın nesnesinin küresel veya düzlemsel üçgen, kenarları ve açıları haline gelmesi anlamında ortaya çıktı."[34]

Küresel üçgenlerle ilgilenen yöntemler, özellikle küresel problemlerle başa çıkmak için "Menelaus teoremini" geliştiren İskenderiyeli Menelaus'un yöntemi de biliniyordu.[11][35] Bununla birlikte, E. S. Kennedy, İslam öncesi matematikte küresel bir şeklin büyüklüklerini prensipte kirişler tablosu ve Menelaus teoremi kullanarak hesaplamanın mümkün olmasına rağmen, teoremin küresel problemlere uygulanmasının pratikte çok zor olduğuna dikkat çekiyor.[36] Zamanlamaların Ay'ın evreleri tarafından belirlendiği İslami takvimde kutsal günleri gözlemlemek için, astronomlar başlangıçta Menelaus'un yöntemini kullanarak Ayın ve Yıldızların yerini hesapladılar, ancak bu yöntemin kullanışsız ve zor olduğu kanıtlandı. Kesişen iki dik üçgen oluşturmayı içeriyordu; Menelaus'un teoremini uygulayarak altı kenardan birini çözmek mümkündü, ancak yalnızca diğer beş kenar biliniyorsa. Örneğin, Güneşin yüksekliğinden zamanı söylemek için Menelaus teoreminin tekrarlanan uygulamaları gerekliydi. Ortaçağ İslami gökbilimcileri için, daha basit bir trigonometrik yöntem bulmak için bariz bir davet vardı.[37]

Hint siddhantalarına benzer astronomik incelemelere zic adı verildi. Tipik bir zic, kullanımları için bir rehber ve (her zaman olmasa da) genel teorinin bir sunumu ile sağlanan astronomik ve trigonometrik tablolardan oluşan bir koleksiyondu.[38] 8.-9. yüzyıllar dönemindeki Zic'lerin karşılaştırılması, trigonometrik bilginin hızlı gelişimini göstermektedir. Metotları astronomi ve jeodezi [39][40][41] problemlerini çözmek için kullanılan küresel trigonometri, İslam ülkelerinden bilim adamlarının özel ilgi konusuydu. Çözülmesi gereken ana problemler arasında şunlar vardı:[38][42][43]

1. Günün saatinin doğru belirlenmesi.
2. Gök cisimlerinin gelecekteki konumlarının, yükselme ve batma anlarının, Güneş ve Ay tutulmalarının hesaplanması.
3. Mevcut konumun coğrafi koordinatlarını bulma.
4. Bilinen coğrafi koordinatlara sahip şehirler arasındaki mesafenin hesaplanması.
5. Belirli bir yerden Mekke'ye (kıble) yönün belirlenmesi.

MS 9. yüzyılın başlarında, Muhammed ibn Mūsā al-Khwārizmī doğru sinüs ve kosinüs tablolarını ve ilk teğetler (tanjant) tablosunu üretti. Aynı zamanda küresel trigonometri alanında da öncüydü. MS 830'da Habash al-Hasib al-Marwazi ilk kotanjant tablosunu üretti.[44][45] Muhammed ibn Jābir el-Harrānī el-Battānī (Albatenius) (MS 853-929) sekant ve kosekantın karşılıklı işlevlerini keşfetti ve 1° ile 90° arasındaki her derece için ilk kosekant tablosunu oluşturdu.[45]

MS 10. yüzyılda, Ebū al-Wafā 'al-Būzjānī'nin çalışmasında, Müslüman matematikçiler altı trigonometrik fonksiyonun hepsini kullanıyorlardı.[46] Ebu el-Vefa, 0,25°'lik artışlarla sinüs tablolarına, 8 ondalık doğruluk hanesine ve doğru tanjant değer tablolarına sahipti. Ayrıca aşağıdaki trigonometrik formülü geliştirdi:[47]

${\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$ (Batlamyus'un açı toplama formülünün özel bir durumu; yukarıya bakın)

Özgün metninde Ebū el-Vefa şöyle der: "Bunu istiyorsak, verilen sinüsü kosinüs dakikalarıyla çarpıyoruz ve sonuç çiftinin sinüsünün yarısıdır".[47] Ebū el-Vefa ayrıca tam ispatlar ile sunulan açı toplamı ve farkı özdeşliklerini de kurdu:

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

İkincisi için metin şöyle der: "İki yayın her birinin sinüsünü diğer dakikaların kosinüsü ile çarparız. Toplamın sinüsünü istiyorsak çarpımları ekliyoruz, farkın sinüsünü istiyorsak farklarını alıyoruz".[47]

Ayrıca küresel trigonometri için sinüs yasasını keşfetti:[44]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Ayrıca, MS 10. yüzyılın sonlarında ve 11. yüzyılın başlarında, Mısırlı gökbilimci İbn Yunus birçok dikkatli trigonometrik hesaplama yaptı ve aşağıdaki trigonometrik özdeşliği gösterdi:[48]

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

Endülüs'lü El-Ceyyani (989 -1079), "küresel trigonometri hakkındaki ilk bilimsel çalışma" olarak kabul edilen "The book of unknown arcs of a sphere" adlı eseri yazdı.[49] Bu eser, "dik açılı üçgenler için formüller, genel sinüs yasası ve küresel üçgenin kutupsal üçgen aracılığıyla çözümünü" içerir. Bu çalışma daha sonra "Avrupa matematiği üzerinde güçlü bir etkiye" sahipti ve onun "oranların sayı olarak tanımlanması" ve "tüm kenarlar bilinmediğinde küresel bir üçgeni çözme yöntemi" muhtemelen Regiomontanus'u etkilemiştir.

Nirengi yöntemi ilk olarak, 11. yüzyılın başlarında Ebu Reyhan Biruni tarafından tanımlandığı gibi, ölçme[50] ve İslami coğrafya gibi pratik kullanımlara uygulayan Müslüman matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Biruni, Dünya'nın büyüklüğünü ve çeşitli yerler arasındaki mesafeleri ölçmek için nirengi tekniklerini kendisi tanıttı.[51] 11. yüzyılın sonlarında Ömer Hayyam (1048-1131), trigonometrik tablolarda interpolasyonla bulunan yaklaşık sayısal çözümleri kullanarak kübik denklemleri çözdü. 13. yüzyılda, Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız matematiksel bir disiplin olarak ele alan ilk kişiydi ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirdi.[45] Küresel trigonometride dik açılı üçgenin altı farklı durumunu listeledi ve "On the Sector Figure" adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtti, küresel üçgenler için tanjant yasasını keşfetti ve bu yasaların her ikisi için de kanıtlar sağladı.[52] Nasir al-Din al-Tusi, trigonometrinin yaratıcısı olarak trigonometriyi kendi başına bir matematik disiplini olarak tanımlanmıştır.[53][54][55]

15. yüzyılda, Gıyaseddin Cemşid, nirengi'nin uygun bir biçiminde Kosinüs yasası için ilk açık ifadesi sağladı. Fransa'da, kosinüs yasası hala Al-Kashi teoremi olarak anılmaktadır. Ayrıca, her 1°'nin her 1/60'ına eklenecek farklarla her 1° argüman için dört altmışlık basamağa (8 ondalık basamağa eşdeğer) kadar sinüs fonksiyonunun değerlerinin trigonometrik tablolarını verdi. Uluğ Bey aynı zamanda 8 ondalık basamağa kadar doğru sinüs ve tanjant tabloları da verir.

1342'de Gersonides olarak bilinen Levi ben Gershon, özellikle düzlem üçgenler için sinüs yasasını kanıtlayan ve beş rakamlı sinüs tabloları veren "On Sines, Chords and Arcs" adlı eseri yazdı.[56]

Basitleştirilmiş bir trigonometrik tablo olan "toleta de marteloio", 14-15. yüzyıllar boyunca Akdeniz'deki denizciler tarafından seyrüsefer rotalarını hesaplamak için kullanıldı. 1295 yılında Mayorka'dan Ramon Llull tarafından tanımlanmış ve Venedikli kaptan Andrea Bianco'nun 1436 atlasında düzenlenmiştir.

Regiomontanus, belki de trigonometriyi 1464'te yazdığı De triangulis omnimodis’te[57] farklı bir matematik disiplini olarak ele alan ilk matematikçiydi ve daha sonraki Tabulae directionum’unda, isimsiz olsa da tanjant fonksiyonunu içeriyordu. Copernicus'un öğrencisi Georg Joachim Rheticus'un Opus palatinum de triangulis’i, muhtemelen Avrupa'da trigonometrik fonksiyonları çember yerine dik üçgenler şeklinde tanımlayan ilk kişiydi ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için tablolar; bu çalışma Rheticus'un öğrencisi Valentin Otho tarafından 1596'da tamamlandı.

17. yüzyılda, Isaac Newton ve James Stirling trigonometrik fonksiyonlar için genel Newton-Stirling interpolasyon formülünü geliştirdiler.

18. yüzyılda, Leonhard Euler'in Introductio in analysin infinitorum (1748) adlı eserinde, Avrupa'da trigonometrik fonksiyonların analitik yaklaşımını oluşturmaktan, sonsuz serilerini türetmekten ve "Euler formülünü" ${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+{\text{i}}\sin(x)}$ sunmaktan sorumluydu. Euler, neredeyse modern kısaltmaları sin., cos., tan., cot., sec., ve cosec kullandı. Bundan önce Roger Cotes, Harmonia Mensurarum'da (1722) sinüs türevini hesaplamıştı.[58] Ayrıca 18. yüzyılda Brook Taylor genel Taylor serisini tanımladı ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için serilere genişleme ve tahminler verdi. 17. yüzyılda James Gregory'nin ve 18. yüzyılda Colin Maclaurin'in eserleri de trigonometrik serilerin gelişiminde çok etkili oldu.