Kosinüs teoremi

Kenarları ${\displaystyle a,b,c}$ ve c kenarının karşısındaki açısı ${\displaystyle \alpha }$ olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde ${\displaystyle \ A(b\sin \alpha ,b\cos \alpha ),B(0,a),C(0,0)}$ noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle ${\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}}}}$ bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\alpha -2ab\cos \alpha +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )-2ab\cos \alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \end{aligned}}}$

Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

${\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}$

Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

${\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}$

Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

${\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,}$

${\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}$

bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}$

En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

${\displaystyle ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,}$

yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,.}$

elde edilir.