Trigonometrik fonksiyonlar

Çağdaş kullanımda, aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere altı tane temel trigonometrik fonksiyon vardır. Özellikle son dördünde, bu bağıntılar bu fonksiyonların tanımları olarak geçer, ama bu fonksiyonlar geometrik veya başka yollardan da tanımlanabilirler, ve bu bağıntılar o yollardan da çıkarılabilir. Bu fonksiyonlar arasındaki birçok bağıntı trigonometrik ifadeler sayfasında görülebilir.

Fonksiyon	Kısaltma	İlişki
Sinüs	sin	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,}$
Kosinüs	cos	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,}$
Tanjant	tan	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}\,}$
Kotanjant	cot	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}\,}$
Sekant	sec	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,}$
Kosekant	csc (veya cosec)	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\,}$

1. f(x) = sin(x) işlevi dik üçgen'de karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat Düzleminde "y" ekseni olarak tabir edilir. Bu işlevin tanım aralığı [-1,1] dir. Yani, sinüs fonksiyonunun değeri -1'den küçük 1'den büyük olamaz.

2. f(x) = cos(x) işlevi dik üçgende Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat düzleminde "x" ekseni olarak tabir edilir. Tanım aralığı f(x) = sinx işleviyle aynıdır.

Sinüs ve Kosinüs işlevleri arasında Pisagor teoreminden çıkarılabilen; ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$ bağıntısı vardır.

3. f(x) = tanx işlevi dik üçgende Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "x" ekseninin pozitif tarafında teğet ve x eksenine diktir. Tanım aralığı [-∞,+∞] dır. Ayrıca ${\displaystyle \tan x\times \cot x=1}$'dir.

4. f(x) = cotx işlevi dik üçgende Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "y" ekseninin pozitif yönünde teğet ve y eksenine diktir. Tanım aralığı [-∞,+∞] dır.

Tanjant ve Kotanjant işlevleri arasında birim çemberde benzerlik yapılarak veya Pisagor teoreminden bulunabilen ${\displaystyle \tan x\times \cot x=1}$ bağıntısı vardır.

Trigonometrik fonksiyonların özel değerleri

Aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi Trigonometrik fonksiyonların bazı yaygın olarak kullanılan özel değerleri vardır,

Fonksiyon	${\displaystyle 0\ (0^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}\ (15^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}\ (75^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })}$
sin	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
cos	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$
tan	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \infty }$[1]
cot	${\displaystyle \infty }$[1]	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$
sec	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \infty }$[1]
csc	${\displaystyle \infty }$[1]	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$

Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine.

Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Birim çember

Bu altı trigonometrik fonksiyon birim çember'de tanımlanabilir, yarıçapı bir birim olan çemberdir. Birim çember tanımı pratik hesaplamada çok yararlar sağlar; aslında çoğu açıları için dik üçgeni kullanabiliriz. Açılar 0 ve π/2 radyan'la sınırlı değildir. Birim çember bütün pozitif ve negatif açıların trigonometrik değerlerini tanımlar

Ayrıca tek bir görsel resim Aynı anda tüm önemli üçgenlerin içinde saklanmasını sağlar. Pisagor teoremi'nden yararlanılarak birim çemberde şu denklemi kurabiliriz:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.\,}$

Bu resim bazı yaygın açıları, negatif ve pozitif yöndeki ölçüleri, radyan ölçülerini içerir, x-ekseninin pozitif yarısının orijinden çizilen doğru ile yaptığı açı θ’dır, bu birim çemberle kesişir. x- ve y-koordinatlarının bu kesim noktası ile kesiştiği nokta sırasıyla cos θ ve sin θ, değerlerine eşittir. Hipotenüs burada 1'e eşittir. böylece sin θ = y/1 ve cos θ = x/1 olacaktır

Bu değerlerin, kolay biçimde hafızaya alındığını aklınızda bulundurunuz

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {0}},\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {1}},\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}},\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}},\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}.}$

15°, 18º, 36º, 54°, 72º ve 75° için elde edilen değerleri aşağıdadır.

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\,\!}$

${\displaystyle \sin 18^{\circ }=\cos 72^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

${\displaystyle \sin 36^{\circ }=\cos 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {10}}-2{\sqrt {5}}}{4}}}$

${\displaystyle \sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!}$

${\displaystyle \sin 72^{\circ }=\cos 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {10}}+2{\sqrt {5}}}{4}}}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\,\!}$

3º, 6º, 9º, 81º, 84º, ve 87º için değerleri analitik olarak hesaplanabilir.

${\displaystyle \sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {30}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {20+4{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {60+12{\sqrt {5}}}}}{16}}\,\!}$

${\displaystyle \sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,\!}$

${\displaystyle \sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\dfrac {{\sqrt {90}}+{\sqrt {18}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {20-4{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {180-36{\sqrt {5}}}}}{32}}\,\!}$

${\displaystyle \sin 84^{\circ }=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10}}-2{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{8}}}$

${\displaystyle \sin 87^{\circ }=\cos 3^{\circ }={\frac {{\sqrt {60+12{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {20+4{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {30}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}-{\sqrt {10}}}{16}}}$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları Kartezyen düzlemde grafikle gösterilebilir.

2π ve daha büyük açılar için az-2π ve daha küçük açılar için çember etrafında sadece bir daire etrafında dönmeye devam ederler

sin ve cos periyodik fonksiyon ve periodu 2π'dir

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right),\,}$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right),\,}$

herhangi bir açı θ ve herhangi bir tam sayı  k 'dır.

Sinüs fonksiyonu (mavi), orijini merkez alan tam bir döngü için 7. derecedeki (pembe) Taylor polinomu ile oldukça yakınsanır.

Trigonometrik fonksiyonların Taylor serisi'ne açılımları aşağıdaki gibidir. bütün x:[2] gerçek sayılar için

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Bu iki serinin şu toplamı Euler formülü'nü verir: cos x + i sin x = e^ix. Diğer serilerde bulunabilir.[3] Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlar için:

U_n ninci üst/alt sayı'dır,

B_n ninci Bernoulli sayısı'dır, ve

E_n (aşağıda) ninci Euler sayısı'dır.

Tanjant

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}}{\text{ için}}.\end{aligned}}}$

Eğer seri tanjant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "tanjant sayıları" olarak adlandırılır.[4]

Kosekant

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi {\text{ için}}.\end{aligned}}}$

Secant

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}}{\text{ için}}.\end{aligned}}}$

Eğer seri sekant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "sekant sayıları" olarak adlandırılır .[4]

Kotanjant

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi {\text{ için}}.\end{aligned}}}$

kotanjant fonksiyonu ve ters fonksiyonlar için:[5]

${\displaystyle \pi \cdot \cot(\pi x)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Bu eşitlik Herglotz hilesi ile ispat edilir.[6] ${\displaystyle -n}$-inci ve ${\displaystyle n}$-inci terimleri birleştirilerek mutlak yakınsak seri:

${\displaystyle \pi \cdot \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}.}$

Üstel fonksiyonlar ve karmaşık sayılarla ilişkisi

Euler formülünün üç boyutlu helisle gösterimi, birim çemberin 2-D ortogonal parçası ile başlıyor, ${\displaystyle sin}$ ve ${\displaystyle cos}$ (${\displaystyle \theta }$ yerine ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle t}$).

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,}$

Bu eşitlik Euler formülüdür. Karmaşık analizin geometrik yorumlanmasının esasını oluşturur. Örnek olarak Karmaşık düzlem'de birim çemberin e ^ix, parametrizasyonu gibi. Buradaki paramatreler cos ve sin'dir. Euler formülü ile aşağıdaki sin ve cos trigonometrik eşitlikler yazılabilir:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\;}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\;}$

Dahası, trigonometrik fonksiyonların bu karmaşık argümanları için z tanımını sağlar:

${\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}}$

${\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\cosh \left(iz\right)}$

burada i ² = −1. sin ve cos tam fonksiyon'dur. Ayrıca, x saf gerçeldir,

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})\,}$

${\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})\,}$

Ayrıca argümanları gerçek ve sanal kısımları bakımından karmaşık sinüs ve kosinüs fonksiyonları ifade etmek bazen yararlıdır.

${\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\,}$

${\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\,}$

Bu (sin, cos) fonksiyonlarından yararlanılarak hiperbolik gerçek (sinh, cosh) karşılıkları bulunabilir.

Karmaşık grafik

Aralık değerinin parlaklığın büyüklüğü (mutlak değeri) gösterir. Parlaklığı siyah olan değer sıfırdır. Renk tonu pozitif reel eksenle ölçülen, argüman veya açı ile değişir.

Karmaşık işlevler için renk haritası. Ölçek sinh kullanılarak yapılır.

• Visionlearning Module on Wave Mathematics18 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram.15 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Requires java browser plugin)