Euler formülü

Euler denklemi,



şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı dir ve sin, cos ve için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.

Bir örnekle ispatı

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları

Euler formülü'nde x yerine

,
,
,

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim

ifadesinde x yerine konursa

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

,
elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

İki katlı üstel

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

x yerine

konursa;

İmajiner trigonometrik

x-->ln(x) alınırsa

Karma bağıntılar

Üslerin toplamına göre

ve

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

sonuç olarak

elde edilir.

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

Üslerin çarpımına göre

Buradaki ifadeler

veya

eşitliğidir.

x yerine -x konursa;

Bell sayıları ile ilgisi

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

Ayrıca bakınız

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.