Bell serisi

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

Verilen aritmetik fonksiyon $f$ ve bir asal $p$ , ile formel kuvvet serisi $f_{p}(x)$ , Bell serisi $f$ modül $p$ olarak adlandırılır:

f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.

iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir,eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu $f$ ve $g$ ,dir ama sadece ve sadece $f=g$ ise; bütün $p$ asalları için

f_{p}(x)=g_{p}(x)

iki seri çarpımı ( çarpım teoremidir.) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon $f$ ve $g$ , $h=f*g$ yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için $p$ için,:

h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,

Özelikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur .

Eğer $f$ 'tamamen çarpımsal ise;

f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.

Örnekler

Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların,bir tablo halinde ifadesi:

Moebius fonksiyonu $\mu$ , $\mu _{p}(x)=1-x.$ 'dır
Euler Totient $\phi$ $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}$ 'dır.
çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon $\delta$ $\delta _{p}(x)=1$ 'dır.
Liouville fonksiyonu $\lambda$ $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}$ 'dır
kuvvet fonksiyonu Id_k $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}$ 'dır.burada, Id_k tam çarpım fonksiyonu $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ 'dır
bölme fonksiyonu $\sigma _{k}$ $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}$ 'dır.

Kaynakça

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.