Taylor serisi

Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).

Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir ${\displaystyle f(x)}$ fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere ${\displaystyle (a-r,a+r)}$ aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }$

Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Burada ${\displaystyle n!}$, n faktöriyeli; ƒ ⁽ⁿ⁾(a) ise f fonksiyonunun n. dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir. f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)⁰ ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.

Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.

(1 − x)⁻¹ için Maclaurin serisi,

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$ geometrik serisidir.

x^-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots \!}$ dir.

Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$

Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$ dir.

a = 0 noktasında e^x üstel fonksiyonu için Taylor serisi:),

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$ dir.

e^x'in x'e göre türevi yine e^x 'e ve e⁰ de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)ⁿ terimi, paydasındaysa n! terimi kalır.

Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.

log(1+x) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < x ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. x > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin daha kötü yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.

Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların Frechet uzayında bir eksik kümedir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.

Bir f fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde f(x)'in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir. Örneğin;

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&\mathrm {if} \ x\not =0\\0&\mathrm {if} \ x=0\end{cases}}}$

fonksiyonu x=0'da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır.

e ^−1/x²'nin grafiği.

Eğer seri belirtilen aralıktaki her ${\displaystyle x}$ noktasında ${\displaystyle f(x)}$'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, f(x) =e ^−1/x², x ≠ 0 ve ${\displaystyle f(0)=0}$ fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.

Taylor serileri, fonksiyonların (ör. logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler. Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabimektedir.