Stewart teoremi

Bu teoremin ispatı bütünler açıları kullanarak kosinüs teoreminden bulunur. Aşağıdaki şekillerde ADB ve ADC bütünler açılardır. ADB açısına ${\displaystyle \alpha }$ dersek, ADC açısı ${\displaystyle 180-\alpha }$ olur. Trigonometrik fonksiyonlardan biri olan kosinüsün özelliğinden de aşağıdaki durum ortaya çıkar;

${\displaystyle \ \cos({180-\alpha })=-\cos \alpha }$

Bunun üzerine ADB ve ADC üçgenlerinde kosinüs teoremi uygularsak;

${\displaystyle \ |AD|^{2}+m^{2}-2|AD|m\cos \alpha =c^{2}}$

${\displaystyle \ |AD|^{2}+n^{2}-2|AD|n\cos {180-\alpha }=b^{2}}$

İkinci bağıntı trigonometrik fonksiyon özelliğinden dolayı aşağıdaki şekli alır;

${\displaystyle \ |AD|^{2}+n^{2}+2|AD|n\cos {\alpha }=b^{2}}$

Üstteki bağıntı n, alttaki bağıntı m ile çarpılıp alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir;

${\displaystyle \ nc^{2}+mb^{2}=(m+n)|AD|^{2}+mn(m+n)}$

Bağıntıda sağ taraf ${\displaystyle (m+n)}$ parantezine alınrısa:

${\displaystyle \ nc^{2}+mb^{2}=(m+n)(|AD|^{2}+mn)}$

Gerekli düzenlemeler ile ${\displaystyle (m+n)}$ ve ${\displaystyle mn}$ sol tarafa geçirilirse;

${\displaystyle |AD|^{2}={\frac {c^{2}.n+b^{2}m}{m+n}}-m.n}$

elde edilir.

• Üçgen
• Kosinüs teoremi
• Kosinüs