Matematiğin dalları

küme teorisi ve matematiksel mantık konularını içerir

Matematikçiler her zaman mantık ve sembollerle çalıştılar, ancak yüzyıllar boyunca mantığın altında yatan yasalar kanıksandı ve asla sembolik olarak ifade edilmedi. Sembolik mantık olarak da bilinen matematiksel mantık, insanlar sonunda matematiğin araçlarının mantığın yapısını incelemek için kullanılabileceğini fark ettiğinde geliştirildi. Bu alandaki araştırma alanları hızla genişlemiştir ve genellikle birkaç farklı alt alana bölünmüştür.

İspat teorisi ve oluşturmacı matematik

İspat teorisi ya da "Meta matematik", David Hilbert'in matematikteki tüm ispatları resmileştirmeye yönelik iddialı programından doğdu. Alandaki en ünlü sonuç Gödel'in eksiklik teoremlerinde özetlenmiştir. Yakından ilişkili ve şimdi oldukça popüler olan bir kavram, Turing makineleri fikridir. Oluşturmacılık, Brouwer'ın mantığın kendi doğasına ilişkin alışılmışın dışında görüşünün bir sonucudur; Yapısal olarak konuşursak, matematikçiler gerçekten bir daire olduğu ortaya konana ve yuvarlaklığı ölçene kadar "Bir daire yuvarlaktır ya da değildir" diyemezler.

Model teorisi

Model teorisi, matematiksel yapıları genel bir çerçevede inceler. Ana aracı birinci dereceden mantıktır.

Küme teorisi

Bir küme, bazı ortak özelliklerle birleştirilen farklı şeylerin bir koleksiyonu olarak düşünülebilir. Küme teorisi üç ana alana bölünmüştür. Naif küme teorisi, matematikçiler tarafından 19. yüzyılın sonunda geliştirilen orijinal küme teorisidir. Aksiyomatik küme teorisi, saf küme teorisindeki ciddi kusurların (Russell paradoksu gibi) keşfine yanıt olarak geliştirilen titiz bir aksiyomatik teoridir. Kümeleri "aksiyomları karşılayan her şey" olarak ele alır ve nesnelerin toplanması kavramı, aksiyomlar için yalnızca motivasyon işlevi görür. İç küme teorisi, gerçek sayılar içerisinde illimited (muazzam büyük) ve infinitesimal (düşlenemeyecek kadar küçük) ögeleri tanımlayan mantıksal tutarlılığı destekleyen küme kuramının aksiyomatik bir uzantısıdır. Ayrıca bkz. Küme teorisi konularının listesi.

Tarih ve biyografi

Matematik tarihi, ayrılmaz bir biçimde konunun kendisiyle iç içe geçmiştir. Bu tamamen doğaldır: matematiğin, daha önce gelenlerden yeni teoremler türeten dahili bir organik yapısı vardır. Her yeni nesil matematikçi, kendi çalışmalarını atalarının başarıları üzerine inşa ettikçe, konunun kendisi de bir soğan gibi yeni katmanlarla büyüyor da büyüyor.

Eğlence matematiği

Sihirli karelerden Mandelbrot kümesine kadar sayılar, çağlar boyunca milyonlarca insan için bir eğlence ve keyif kaynağı olmuştur. "Ciddi" matematiğin birçok önemli dalının kökleri bir zamanlar sadece bir bulmaca ve/veya oyun olan şeylere dayanmaktadır.

Sayılar teorisi, sayıların ve aralarındaki işlemlerin özelliklerinin incelenmesine dayanan matematik alanıdır. Sayılar teorisi, geleneksel olarak tam sayıların özellikleriyle ilgilenir, ancak son zamanlarda, tam sayıların incelenmesinden doğal olarak ortaya çıkan daha geniş problem sınıflarıyla da ilgilenmeye başlamıştır.

Aritmetik

Sayı teorisinin temel olarak doğal sayılar, tam sayılar, kesirler ve ondalık sayıların yanı sıra bunlarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi geleneksel işlemlerin özelliklerine odaklanan temel bir parçasıdır. 19. yüzyıla kadar, aritmetik ve sayı teorisi eş anlamlıydı, ancak alanın evrimi ve büyümesi, yalnızca sayı teorisinin temel dalına atıfta bulunan aritmetik kavramı ile sonuçlandı.

Temel sayı teorisi

Tam sayıların aritmetikten daha yüksek bir düzeyde incelenmesi, burada 'temel' terimi, diğer matematiksel alanlardan hiçbir tekniğin kullanılmadığı gerçeğini ifade etmektedir.

Analitik sayı teorisi

Tam sayıları incelemek için Kalkülüsü ve karmaşık analizi araç olarak kullanılır.

Cebirsel sayı teorisi

Soyut cebir teknikleri, tam sayıların yanı sıra cebirsel sayıları, tam sayı katsayılı polinomların köklerini incelemek için kullanılır.

Diğer sayı teorisi alt alanları

Geometrik sayı teorisi; kombinatoryal sayı teorisi; transandantal sayı teorisi ve hesaplamalı sayı teorisi. Sayı teorisi konularının listesine de bakın.

Yapı çalışması sayılarla, önce bilinen doğal sayılar ve tam sayılar ile bunların temel cebire kaydedilen aritmetik işlemleriyle başlar. Bu sayıların daha derin özellikleri sayı teorisinde incelenmiştir. Denklemleri çözme yöntemlerinin araştırılması, diğer şeylerin yanı sıra halkaları ve cisimleri, günlük sayıların sahip olduğu özellikleri genelleştiren yapıları inceleyen soyut cebir alanına götürür. Pergel ve düz kenarlı cetvel ile yapılabilen çizimler hakkında uzun süredir devam eden sorular sonunda Galois teorisiyle çözüldü. Vektör uzaylarına genelleştirilmiş fiziksel olarak önemli vektör kavramı doğrusal cebirde incelenmiştir. Her tür cebirsel yapı için ortak olan temalar evrensel cebirde incelenir.

Sıra teorisi

Herhangi iki farklı gerçek sayı için biri diğerinden büyük olmalıdır. Sıra teorisi, bu fikri genel olarak kümelere genişletir. Kafesler ve sıralı cebirsel yapılar gibi kavramları içerir. Ayrıca sıra teorisi sözlüğüne ve sıra konularının listesine bakın.

Genel cebirsel sistemler

Bir küme verildiğinde, bu kümenin üyelerini birleştirmenin veya ilişkilendirmenin farklı yolları tanımlanabilir. Bunlar belirli kurallara uyarlarsa, belirli bir cebirsel yapı oluşur. Evrensel cebir, bu yapıların ve sistemlerin daha resmi bir çalışmasıdır.

Cisim teorisi ve polinomlar

Alan teorisi, cisimlerin özelliklerini inceler. Alan, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin iyi tanımlandığı matematiksel bir varlıktır. Polinom, sabitlerin ve değişkenlerin yalnızca toplama, çıkarma ve çarpma kullanılarak birleştirildiği bir ifadedir.

Değişmeli halkalar ve cebirler

Halka teorisinde, soyut cebrin bir dalı olan değişmeli bir halka, çarpma işleminin değişme yasasına uyduğu bir halkadır. Bu, a ve b halkanın herhangi bir elemanıysa, a×b = b×a olduğu anlamına gelir. Değişmeli cebir, değişmeli halkalar ve idealleri, modülleri ve cebirlerinin çalışma alanıdır. Hem cebirsel geometri hem de cebirsel sayı teorisi için temeldir. Değişmeli halkaların en belirgin örnekleri, polinom halkalarıdır.

Kombinatorik, belirli kriterleri karşılayan sonlu veya ayrık nesne koleksiyonlarının incelenmesidir. Özellikle, bu koleksiyonlardaki nesneleri "sayma" ile (sayı saymalı kombinatorikler) ve belirli "optimal" nesnelerin var olup olmadığına (aşırı kombinatorikler) karar vermekle ilgilidir. Birbirine bağlı nesneleri tanımlamak için kullanılan graf (çizge) teorisini içerir (bu anlamda bir graf, bir ağ veya bağlantılı noktalar topluluğudur). Ayrıca kombinatorik konularının listesine, grafik teorisi konularının listesine ve grafik teorisi sözlüğüne bakın. Problem çözmenin birçok bölümünde kombinasyonel bir lezzeti mevcuttur.

Geometri, temel nitelikleri veya aksiyomları kullanarak uzamsal ilişkilerle ilgilenir. Bu tür aksiyomlar, mantıksal sonuçlar çıkarmak için noktalar, doğrular, eğriler, yüzeyler ve katılar için matematiksel tanımlarla birlikte kullanılabilir. Ayrıca bkz. Geometri konularının listesi.

Konveks geometri

Politoplar ve çok yüzlüler gibi nesnelerin çalışmasını içerir. Ayrıca bkz. Dışbükeylik konuların listesi.

Ayrık geometri ve kombinatoryal geometri

Doğaları veya sunuşları gereği ayrık veya kombinatoryal geometrik nesnelerin ve özelliklerin incelenmesidir. Platonik katılar ve mozaikleme kavramı gibi şekillerin incelenmesini içerir.

Diferansiyel geometri

Matematik kullanarak geometri çalışmasıdır. Diferansiyel topoloji ile çok yakından ilgilidir. Riemann geometrisi, eğriliği ve eğrilerin diferansiyel geometrisi gibi alanları kapsar. Ayrıca diferansiyel geometri ve topoloji sözlüğüne bakın.

Cebirsel geometri

İki gerçek değişkenin polinomu verildiğinde, bu fonksiyonun sıfır olduğu düzlemdeki noktalar bir eğri oluşturacaktır. Bir cebirsel eğri, bu kavramı belirli sayıda değişkendeki bir cisim üzerinde polinomlara genişletir. Cebirsel geometri, bu eğrilerin incelenmesi olarak görülebilir. Ayrıca cebirsel geometri konularının listesine ve cebirsel yüzeylerin listesine bakın.

Aritmetik geometri

Tam sayılar halkasının spektrumu üzerinde sonlu tip şemalarının incelenmesidir. Alternatif olarak cebirsel geometri tekniklerinin sayı teorisindeki problemlere uygulanması olarak tanımlanır.

Diyofant geometrisi

Rasyonel sayılar alanı, sayı alanları, sonlu alanlar, fonksiyon alanları ve p -adik alanlar gibi cebirsel olarak kapalı olmayan ve Cebirsel sayı teorisinde ortaya çıkan cisimlerdeki koordinatlara sahip cebirsel çeşitlerin noktalarının gerçek sayıları içermeyecek şekilde incelenmesidir.

Gerçek cebirsel geometri

Yarı-cebirsel kümelerin incelenmesi, başka bir deyişle cebirsel eşitsizliklere gerçek sayı katsayıları ile gerçek sayı çözümleri ve aralarındaki eşleştirmeler.

Şekil sürekli deforme olduğunda bir şeklin değişmeyen özelliklerini ele alır. Ana alanlar, aşağıda tanımlanan nokta kümeli topoloji (veya genel topoloji), cebirsel topoloji ve manifoldların topolojisidir.

Genel topoloji

Ayrıca nokta küme topolojisi olarak da adlandırılır. Topolojik uzayların özellikleri, açık ve kapalı kümeler, tıkız uzaylar, sürekli fonksiyonlar, yakınsama, ayırma aksiyomları, metrik uzaylar, boyut teorisi gibi kavramları içerir. Ayrıca genel topoloji sözlüğüne ve genel topoloji konularının listesine bakın.

Cebirsel topoloji

Bir topolojik uzay ile ilişkili cebirsel nesnelerin özellikleri ve bu cebirsel nesnelerin bu tür uzayların özelliklerini nasıl yakaladığı (Bu cebirsel nesnelerin bazıları, Funktör örnekleridir.) Homoloji teorisi, kohomoloji teorisi, homotopi teorisi ve homolojik cebir gibi alanları içerir. Homotopi, homotopi grupları (temel grup dahil) ve basit kompleksler ve CW kompleksleri (hücre kompleksleri olarak da adlandırılır) ile ilgilenir. Cebirsel topoloji konularının listesine de bakın.

Diferansiyel topoloji

Olağan 3 boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin n-boyutlu genellemesi olarak düşünülebilecek türevlenebilir manifoldlar üzerindeki türevlenebilir fonksiyonlarla ilgilenen alandır.

Matematik dünyasında analiz, değişime odaklanan daldır: değişim oranları, birikmiş değişim ve birbirine göre (veya birbirlerinden bağımsız olarak) değişen çok sayıda şey ile ilgilenir.

Modern analiz, disiplinin hemen hemen tüm diğer alt bölümlerine dokunan, sayı teorisi, kriptografi ve soyut cebir gibi çok çeşitli konularda doğrudan ve dolaylı uygulamalar bulan geniş ve hızla genişleyen bir matematik dalıdır. Aynı zamanda bilimin kendi dilidir ve Astrofizikten X ışını kristalografisine kadar kimya, biyoloji ve fizikte kullanılır.

• Olasılık teorisi: Rastgele olayların matematiksel teorisidir. Olasılık teorisi, deterministik olmayan olayların veya ölçülen büyüklüklerin matematiksel soyutlamaları olan rastgele değişkenleri ve olayları inceler. Ayrıca Kategori: olasılık teorisine ve olasılık konularının listesine bakın.
  • Stokastik süreçler: Zaman serileri veya uzamsal süreçler gibi rastgele değişkenlerin koleksiyonlarını inceleyen olasılık teorisinin bir uzantısıdır. Ayrıca bkz. Stokastik süreç konuları listesi ve Kategori: Stokastik süreçler.
• İstatistik: Deneylerden veya birey popülasyonlarından elde edilen sayısal verileri etkili bir şekilde kullanma bilimidir. İstatistikler, sadece bu tür verilerin toplanması, analizi ve yorumlanmasını değil, aynı zamanda anket ve deneylerin tasarımı açısından veri toplama planını da içerir. Ayrıca istatistiksel konuların listesine bakın.

Sayısal analiz

Matematikteki birçok problem, genelde tam olarak çözülemez. Sayısal analiz, problemleri yaklaşık olarak belirli bir hata sınırında çözmek için yinelemeli yöntemlerin ve algoritmaların incelenmesidir. Sayısal farklılaştırma, sayısal entegrasyon ve sayısal yöntemleri içerir; bilimsel hesaplama ile kıyaslayın. Ayrıca bkz. Sayısal analiz konularının listesi.

Bilgisayar cebri

Bu alan aynı zamanda sembolik hesaplama veya cebirsel hesaplama olarak da adlandırılır. Örneğin gelişigüzel büyüklükteki tam sayılar, polinomlar veya sonlu alanların elemanları gibi kesin hesaplama ile ilgilenir. Ayrıca polinom idealler veya seriler gibi sayısal olmayan matematiksel nesnelerle hesaplamayı da içerir.

Klasik mekanik

Mermilerden makinenin parçalarına kadar makroskopik nesnelerin ve uzay aracı, gezegenler, yıldızlar ve galaksiler gibi astronomik nesnelerin hareketini ele alır ve açıklar.

Yapıların mekaniği

Yapıların mekaniği, bir kirişin kıvrılması, bir kolonun burulması, bir şaftın bükülmesi, ince bir kabuğun eğilmesi ve bir köprünün titreşimi gibi mekanik yükler altındaki yapıların davranışını araştıran, uygulamalı mekanik içinde bir çalışma alanıdır.

Deforme olabilen katıların mekaniği

Gerçek dünyadaki nesnelerin çoğu, nokta benzeri veya tamamen katı değildir. Daha da önemlisi, nesneler kuvvetlere maruz kaldığında şekil değiştirir. Bu konu, kesintisiz madde ile ilgili olan süreklilik mekaniği ile çok güçlü bir örtüşmeye sahiptir. Stres, gerinim ve esneklik gibi kavramlarla ilgilenir.

Akışkanlar mekaniği

Akışkanlar, bu anlamda sadece sıvıları içermez, ancak akışkan gazlar ve hatta belirli koşullar altında katıları da içerir. (Örneğin, kuru kum bir sıvı gibi davranabilir). Viskozite, türbülanslı akış ve laminer akış (tersi) gibi kavramları içerir.

Parçacık mekaniği

Matematikte bir parçacık, nokta benzeri, tamamen sabit, katı bir nesnedir. Parçacık mekaniği, parçacıkların kuvvetlere maruz bırakılmasının sonuçlarıyla ilgilenir. Göksel mekaniği, gök cisimlerinin hareketinin incelenmesi, içerir.

• Operasyonel araştırma olarak da bilinen yöneylem araştırması (YA), karmaşık sorunlara optimal veya neredeyse optimal çözümler sağlar. YA matematiksel modelleme, istatistiksel analiz ve matematiksel optimizasyon kullanır.
• Matematiksel programlama (veya matematiksel optimizasyon), genellikle değişkenler üzerindeki kısıtlamalarla belirtilen bir alan üzerinde gerçek değerli bir işlevi minimize (veya maksimize) eder. Matematiksel programlama bu sorunları inceler ve çözümleri için yinelemeli yöntemler ve algoritmalar geliştirir.