Diferansiyel geometri

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir[1]. Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır[2]. Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler araştırılan özellikler arasındadır.

Bir semerin üzerine çizilmiş üçgendir. (bir hiperbolik paraboloid), Bunun yanı sıra bir birinden farklıdır.

Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir.[3] Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.

Uygulamalar

Aşağıda diferansiyel geometrinin bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığınin bazı örnekler vardır .

  • Fizikte , dört kullanımından söz edilecektir: :

Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisi'nin ifade edildiği dildir.Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metrik ile donatılmış düzgün bir manifolddur.Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır . Diferansiyel geometri, çekimsel mercek ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir. Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlaşılmasında kullanılmıştır;Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniği'nde uygulamaları vardır.Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.

  • Riemann geometri ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik denge uygulamaları bulunmuştur .
  • Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.[4]
  • Ve diferansiyel geometriden gelen fikirler üzerine geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım
  • Mühendislikte , Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.[5]
  • Olasılık , istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki , Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir .
  • Yapısal jeoloji , diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır .

Bilgisayarla görme,diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.[6]

  • Görüntü işlemede ,düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.[7]
  • Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
  • kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.[8]

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. The MacTutor History of Mathematics Archive
  2. WolframMathWorld
  3. Maddenin ingilizce belgesinden
  4. Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).
  5. Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" .
  6. Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf 4 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  7. Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis", 4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  8. David J. Love and Robert W. Heath, Jr. "Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems," IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, No. 10, October 2003

    Daha ileri okuma

    • Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. bas.). ISBN 0-8218-3988-8.
    • Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. bas.). ISBN 0-521-53927-7.
    • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition bas.).
    • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
    • Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9. Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
    • do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry.
    • McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint.
    • Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.
    • Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. bas.).
    • Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry.
    • ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0.

    Dış bağlantılar

    Şablon:Mathematics-footer

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.