Dizinin limiti

• Eğer bir c sabiti için ${\displaystyle x_{n}=c}$ ise, ${\displaystyle x_{n}\to c}$.[ispat 1]
• Eğer ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ise, ${\displaystyle x_{n}\to 0}$.[ispat 2]
• Eğer ${\displaystyle n}$ çift iken ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ise, ve ${\displaystyle n}$ tek iken ${\displaystyle x_{n}=1/n^{2}}$ ise, ${\displaystyle x_{n}\to 0}$. (${\displaystyle n}$ tek iken ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ olması konuyla alakasızdır.)
• Herhangi bir gerçel sayı için, ondalık yaklaşmalar yapılarak o sayıya yakınsayan bir dizi oluşturabilir. Örneğin, ${\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,...}$ dizisi ${\displaystyle 1/3}$ sayısına yakınsar. Dikkat edilmeli ki ${\displaystyle 0.3333...}$ ondalık gösterimi az önceki dizinin limitidir ve matematiksel olarak şöyle tanımlanır

${\displaystyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$.

• Bir dizinin limitini bulmak her zaman kolay değildir. Örneğin, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$, aynı zamanda e sayısı olarak bilinir, veya Aritmetik-geometrik ortalama. Bu gibi durumlarda sıkıştırma teoremi genellikle kullanışlıdır.

Aşağıdaki şart sağlanıyorsa "${\displaystyle (x_{n})}$ dizisinin limiti ${\displaystyle x}$ sayısıdır" deriz:

• Her ${\displaystyle \epsilon >0}$ gerçel sayısı için, öyle bir ${\displaystyle N}$ doğal sayısı vardır ki, her ${\displaystyle n>N}$ doğal sayısı için, ${\displaystyle |x_{n}-x|<\epsilon }$ elde ederiz.

Başka bir ifade ile, her ${\displaystyle \epsilon }$ yakınlık ölçüsü için, dizinin terimleri o miktarda limite yakındır. ${\displaystyle (x_{n})}$ dizisi ${\displaystyle x}$ limitine yakınsıyor ya da yaklaşıyor denilir ve ${\displaystyle x_{n}\to x}$ veya ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$ biçiminde yazılır.

Eğer dizi bir limite yakınsıyorsa, o zaman yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır.

Dizilerin limitleri sıradan aritmetik işlemlere benzer davranır. Eğer ${\displaystyle a_{n}\to a}$ ve ${\displaystyle b_{n}\to b}$ ise, ${\displaystyle a_{n}+b_{n}\to a+b}$ ve ${\displaystyle a_{n}b_{n}\to ab}$. b ve ${\displaystyle b_{n}}$ sıfırdan farklı ise, ${\displaystyle a_{n}/b_{n}\to a/b}$.

Herhangi bir f sürekli fonksiyonu için, ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ise, ${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$. Aslında, herhangi bir gerçel değerli f fonksiyonu sürekli ise ancak ve ancak dizilerin limitlerini değiştirmiyordur. (Ama süreklilik daha genel bir kavram olarak ele alındığında bunun doğru olması gerekmez.)

Gerçel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

• Bir dizinin limiti biriciktir.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}}$ (Eğer ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$ ise)
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}}$
• Bazı ${\displaystyle N}$lerden daha büyük tüm ${\displaystyle n}$ler için ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ise, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$.
• (Sıkıştırma Teoremi) Tüm ${\displaystyle n>N}$ için ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ve ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ ise, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$.
• Eğer bir dizi sınırlandırılmış ve monotonik ise o dizi yakınsaktır.
• Bir dizi yakınsak ise ancak ve ancak tüm alt dizileri de yakınsaktır.

Bu özellikler hantal resmi tanımların doğrudan kullanımına gerek kalmaksızın limitleri kanıtlamak için yaygın olarak kullanılır. Yukarıdaki özellikleri kullanarak bir kere ${\displaystyle 1/n\to 0}$ olduğu ispatlandıktan sonra ${\displaystyle {\frac {a}{b+c/n}}\to {\frac {a}{b}}}$, (${\displaystyle b\neq 0}$) olduğunu göstermek kolaydır.

Her K için, bir N vardır öyle ki, her ${\displaystyle n\geq N}$ için, ${\displaystyle x_{n}>K}$; öyle ki seçilen herhangi K için dizinin terimleri o K değerinden daha büyük ise, ${\displaystyle (x_{n})}$ dizisi sonsuza yaklaşıyor denilir ve ${\displaystyle x_{n}\to \infty }$ veya ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$ şeklinde ifade edilir. Benzer bir şekilde, her K için, bir N vardır öyle ki, her ${\displaystyle n\geq N}$ için, ${\displaystyle x_{n}<K}$ ise ${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$. Eğer bir dizi sonsuza ya da eksi sonsuza yaklaşıyorsa, o dizi ıraksaktır. (Ancak, ıraksak bir dizi sonsuza ya da eksi sonsuza yaklaşmak zorunda değildir.)

Tüm ε > 0 için, bir N vardır öyle ki, her ${\displaystyle n\geq N}$ için, ${\displaystyle d(x_{n},x)<\epsilon }$ ise (X, d) metrik uzayının bir x noktası (x_n) dizisinin limitidir. Bu tanım ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ve ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ iken gerçel sayılar için yapılmış tanım ile aynıdır.

Herhangi bir f sürekli fonksiyonu için, eğer ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ise, ${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$. Aslında, bir f fonksiyonu sürekli ise ancak ve ancak uygulandığında dizilerin limitlerini değiştirmiyordur.

Eğer varsa dizilerin limitleri biriciktir, farklı noktaların belli bir pozitif uzaklık ile ayrılması gibi, bu uzaklığın yarısından az her ${\displaystyle \epsilon }$ için, dizinin terimleri her iki noktadan ${\displaystyle \epsilon }$ uzaklığı içerisinde olamaz.

x'in her U komşuluğu için, bir N vardır öyle ki, her ${\displaystyle n\geq N}$, ${\displaystyle x_{n}\in U}$ ise (X, τ) topolojik uzayında bir x noktası, (x_n) dizisinin limitidir. Eğer (X,d) metrik uzay ve ${\displaystyle \tau }$ d tarafından üretilen bir topoloji ise bu tanım metrik uzay için yapılmış tanım ile aynıdır.

Bir T topolojik uzayında ${\displaystyle \left(x_{n}:n\in \mathbb {N} \right)\;}$ noktalarının bir dizisinin limiti, özel bir fonksiyonun limitidir: bu fonksiyonun; tanım kümesi, ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ile genişletilmiş gerçel sayılar kümesinin indüklenmiş topoloji uzayındaki ${\displaystyle \mathbb {N} }$ kümesidir, değer kümesi T, girdisi n - bu uzayda ${\displaystyle \mathbb {N} }$'nın limit noktası olan - +∞'a yaklaşır.

Eğer X Hausdorff uzayı ise, dizilerin limitleri var oldukları yerde biriciklerdir. Bunun genel bir durum olması gerekmediğine dikkat edin. Özellikle, x ve y noktaları topolojik olarak benzer ise, x değerine yakınsayan herhangi bir dizi y değerine de yakınsamalıdır. Bunun tersi de geçerlidir.