Fonksiyonun limiti

f : R → R reel doğruda tanımlı ve p,L ∈ R ise, "x, p ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti, Ldir" denir ve şöyle sembolize edilir:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,\ }$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her ε > 0 reel sayısı için bir δ > 0 reel sayısı vardır. Tüm x için, 0 < | x − p | < δ oluyorsa | f(x) − L | < ε olur.

p, f fonksiyonunun tanım kümesinde olsa bile limitin değeri, f(p) değerine bağlı değildir.

x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻ olduğundan dolayı x → x₀ limit yoktur.

Alternatif olarak x, p ye üstten (sağdan), veya alttan (soldan) yaklaşabilir. Bu durumda limitler sırasıyla şöyle yazılır:

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$

ve

${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$

Eğer her iki durumda da limitler L ye eşit ise, "f(x) in p noktasındaki limitleri L ye eşittir" denir. Benzer şekilde eğerher iki noktadaki limitte L ye eşit değilse, "limit yoktur" denir.

Formal tanımı şu şekildedir: x, p ye üstten yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için δ > 0 olur. 0 < x − p < δ olursa |f(x) − L| < ε olur. Benzer şekilde x, p ye alttan yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için, δ > 0 olur. 0 < p − x < δ olursa |f(x) − L| < ε olur.

Limitsiz fonksiyon

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1{\text{ için }}\\0&x=1{\text{ için }}\\{\frac {0.1}{x-1}}&x>1{\text{ için }}\end{cases}}}$

fonksiyonu ${\displaystyle x_{0}=1}$ noktasında limiti yoktur. Bu yüzden fonksiyon süreksizdir.

M ve N, sırasıyla A ve B metrik uzaylarının alt kümeleri olsun ve f : M → N , M ile N arasında tanımlansın, x ∈ M için p, M nin bir limit noktasıdır ve L ∈ N olur. "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. ve şöyle yazılır:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her ε > 0 için, bir δ > 0 vardır. 0 < d_A(x, p) < δ oluyorsa, d_B(f(x), L) < ε olur.

Y Hausdorff uzayı ve X topolojik uzay olsun. p, Ω ⊆ X de bir limit noktası ve L ∈Y olsun. f : Ω → Y fonksiyonu için "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. (örn, x→p için, f(x)→L) ve şöyle yazılır:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

• Her L nin açık V komşusu için, p nin açık U komşusu vardır. f(U ∩ Ω − {p}) ⊆ V.

Tanım kümesinin aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara Parçalı Fonksiyonlar denir.Bu fonksiyonların limiti şöyle hesaplanır;

durumunda,

${\displaystyle \lim _{x\to \ a+}{g(x)}}$ =${\displaystyle \lim _{x\to a-}{h(x)}=L}$

oluyorsa,

${\displaystyle \lim _{x\to \ a}{f(x)}=L}$

1.sinx ve cosx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.

Sinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."sin" ile ifade edilir.

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına , o açının kosinüsü denir.

Kosinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."cos" ile ifade edilir.

${\displaystyle \lim _{x\to \ a}{sinx}=sina}$

2. tanx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.

Tanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için  π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları bütün gerçek sayılara götürür."tan" ile ifade edilir.

tanx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere;

koşuluna uyan bütün x gerçek sayıları için tanımlı olduğu için,

3. cotx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.

Kotanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları, bütün gerçek sayılara götürür."cot" ile ifade edilir.

cotx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere, x≠tπ koşuluna uyan bütün x sayıları için tanımlı olduğu için,

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cot(x)=cot(a)}$ (a≠t.π ve t ∈ ℤ)

olur.

t ∈ ℤ olmak üzere, a=t.π için,

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cot(x)}$ yoktur.

ƒ fonksiyonu A'dan B'ye gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun. |ƒ| fonksiyonuna ƒ fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Mutlak değerin tanımına göre ƒ(x) in negatif olmadığı yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiği ile aynıdır. ƒ(x) in negatif olduğu yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.

ƒ fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon,

${\displaystyle \lim _{x\to a}{|f(x)|}}$ olmak üzere,

mutlak değerin içini 0 yapan değer kritik noktadır. Yani ƒ(a)=0 kritik noktada limit sorulursa ƒ(x) fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerine bakılır.

Kritik nokta dışında limit sorulursa,

${\displaystyle \lim _{x\to a}{|f(x)|}}$ = ${\displaystyle |f(a)|}$