Sonlu alan

Cebirde sonlu alan veya Galois alanı (Évariste Galois'e ithaf edilsin diye bu adla adlandırıldı), sonlu sayıda elemandan oluşan bir cisimdir. Herhangi bir alan olarak düşünülürse sonlu alan, değişme, çarpma, toplama, çıkarma ve (sıfırdan farklı) bölme işlemlerinin tanımlandığı bir kümedir. Sonlu alanlara yaygın örnek, ℤ/3ℤ veya ℤ/7ℤ gibi tam sayı olan asal tam sayılar modülü verilebilir.

Sonlu alanlar yalnızca, (p bir asal sayı ve k pozitif tam sayı olan) pk asal kuvveti için geçerlidir. Her bir asal kuvvet için bu boyuta sahip tek sonlu alan vardır. Bu boyuttaki tüm alanlar izomorfiktir. pk boyutuna sahip bir alanın karakteristiği p dir. Bu, sonuç sıfır olana kadar her elemanın kopyalanarak pye eklenmesi anlamına gelir. Örneğin; ℤ/2ℤ (tam sayı mod 2), 1 + 1 = 0 olduğunda karakteristiği 2 olur. ℤ/5ℤ, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = vb. olduğunda karakteristiği 5 olur.

q kuvvetine sahip bir sonlu alanda XqX polinomunun tüm ögeleri, onun kökleri olur. Böylece q farklı doğrusal faktörleri elde edilir.

Sonlu alanlara, sayılar teorisi, cebirsel geometri, Galois teorisi, sonlu geometri, kriptografi ve kodlama kuramı da dahil matematik ve bilgisayar biliminde çok sık rastlanır.

Bazı küçük sonlu alanlar

F2

+01
0 01
1 10
×01
0 00
1 01

F3

+012
0 012
1 120
2 201
×012
0 000
1 012
2 021

F4

+01αα+1
0 01αα+1
1 10α+1α
α αα+101
α+1 α+1α10
×01αα+1
0 0000
1 01αα+1
α 0αα+11
α+1 0α+11α

F8

Matris tam sayıları modül 2'yi ifade eden sekiz ögeli alan

  öge (0)         öge (1)         öge (2)         öge (3)

  0  0  0         1  0  0         0  1  0         0  0  1
  0  0  0         0  1  0         0  0  1         1  1  0
  0  0  0         0  0  1         1  1  0         0  1  1

  öge (4)         öge (5)         öge (6)         öge (7)

  1  1  0         0  1  1         1  1  1         1  0  1
  0  1  1         1  1  1         1  0  1         1  0  0
  1  1  1         1  0  1         1  0  0         0  1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7
(1)  1   0   4   7   2   6   5   3
(2)  2   4   0   5   1   3   7   6
(3)  3   7   5   0   6   2   4   1
(4)  4   2   1   6   0   7   3   5
(5)  5   6   3   2   7   0   1   4
(6)  6   5   7   4   3   1   0   2
(7)  7   3   6   1   5   4   2   0

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7
(2)  0   2   3   4   5   6   7   1
(3)  0   3   4   5   6   7   1   2
(4)  0   4   5   6   7   1   2   3
(5)  0   5   6   7   1   2   3   4
(6)  0   6   7   1   2   3   4   5
(7)  0   7   1   2   3   4   5   6

F9

Matris tam sayıları modül 3'ü ifade eden 9 ögeli alan

 öge (0)         öge (1)        öge (2)

  0  0            1  0            0  1
  0  0            0  1            1  1

 öge (3)         öge (4)        öge (5)

  1  1            1  2            2  0
  1  2            2  0            0  2

 öge (6)         öge (7)        öge (8)

  0  2            2  2            2  1
  2  2            2  1            1  0

+/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(1)  1   5   3   8   7   0   4   6   2
(2)  2   3   6   4   1   8   0   5   7
(3)  3   8   4   7   5   2   1   0   6
(4)  4   7   1   5   8   6   3   2   0
(5)  5   0   8   2   6   1   7   4   3
(6)  6   4   0   1   3   7   2   8   5
(7)  7   6   5   0   2   4   8   3   1
(8)  8   2   7   6   0   3   5   1   4

x/  (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0)  0   0   0   0   0   0   0   0   0
(1)  0   1   2   3   4   5   6   7   8
(2)  0   2   3   4   5   6   7   8   1
(3)  0   3   4   5   6   7   8   1   2
(4)  0   4   5   6   7   8   1   2   3
(5)  0   5   6   7   8   1   2   3   4
(6)  0   6   7   8   1   2   3   4   5
(7)  0   7   8   1   2   3   4   5   6
(8)  0   8   1   2   3   4   5   6   7

F16

F16, a + b x + c x2 + d x3 polinomu ile ifade edilir.
a, b, c ve d tam sayı modül 2 dir.
Polinomlar, x4 = 1 + x kuralı kullanılarak x kuvvetleri ile elde edilir.

. 

ö ( 0)        ö ( 1)        ö ( 2)        ö ( 3)
[ 0  0  0  0] [ 1  0  0  0] [ 0  1  0  0] [ 0  0  1  0]

ö ( 4)        ö ( 5)        ö ( 6)        ö ( 7)
[ 0  0  0  1] [ 1  1  0  0] [ 0  1  1  0] [ 0  0  1  1]

ö ( 8)        ö ( 9)        ö (10)        ö (11)
[ 1  1  0  1] [ 1  0  1  0] [ 0  1  0  1] [ 1  1  1  0]

ö (12)        ö (13)        ö (14)        ö (15)
[ 0  1  1  1] [ 1  1  1  1] [ 1  0  1  1] [ 1  0  0  1]

+/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 1_  1  0  5  9 15  2 11 14 10  3  8  6 13 12  7  4
 2_  2  5  0  6 10  1  3 12 15 11  4  9  7 14 13  8
 3_  3  9  6  0  7 11  2  4 13  1 12  5 10  8 15 14
 4_  4 15 10  7  0  8 12  3  5 14  2 13  6 11  9  1
 5_  5  2  1 11  8  0  9 13  4  6 15  3 14  7 12 10
 6_  6 11  3  2 12  9  0 10 14  5  7  1  4 15  8 13
 7_  7 14 12  4  3 13 10  0 11 15  6  8  2  5  1  9
 8_  8 10 15 13  5  4 14 11  0 12  1  7  9  3  6  2
 9_  9  3 11  1 14  6  5 15 12  0 13  2  8 10  4  7
10_ 10  8  4 12  2 15  7  6  1 13  0 14  3  9 11  5
11_ 11  6  9  5 13  3  1  8  7  2 14  0 15  4 10 12
12_ 12 13  7 10  6 14  4  2  9  8  3 15  0  1  5 11
13_ 13 12 14  8 11  7 15  5  3 10  9  4  1  0  2  6
14_ 14  7 13 15  9 12  8  1  6  4 11 10  5  2  0  3
15_ 15  4  8 14  1 10 13  9  2  7  5 12 11  6  3  0

x/   0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
 0_  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 1_  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 2_  0  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1
 3_  0  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2
 4_  0  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3
 5_  0  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4
 6_  0  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5
 7_  0  7  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6
 8_  0  8  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7
 9_  0  9 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8
10_  0 10 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11_  0 11 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
12_  0 12 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13_  0 13 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
14_  0 14 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
15_  0 15  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14

F25

F25, a + b√2 sayıları ile ifade edilir. a ve b, tam sayı modül 5 dir.
2 + √2 kuvvetleri ile elde edilir.

ö ( 0)ö ( 1)ö ( 2)ö ( 3)ö ( 4)
0 + 0√21 + 0√22 + 1√21 + 4√20 + 4√2
ö ( 5)ö ( 6)ö ( 7)ö ( 8)ö ( 9)
3 + 3√22 + 4√22 + 0√24 + 2√22 + 3√2
ö (10)ö (11)ö (12)ö (13)ö (14)
0 + 3√21 + 1√24 + 3√24 + 0√23 + 4√2
ö (15)ö (16)ö (17)ö (18)ö (19)
4 + 1√20 + 1√22 + 2√23 + 1√23 + 0√2
ö (20)ö (21)ö (22)ö (23)ö (24)
1 + 3√23 + 2√20 + 2√24 + 4√21 + 2√2
+0123456789101112131415161718192021222324
0 0123456789101112131415161718192021222324
1 1718631214192252021002316112115139824417
2 2188197413152023621311024171222161410915
3 3619920851416212472241201181323171511102
4 4372010219615172218235130219142418161211
5 5 124821112210716182329246140320151191713
6 6141359221223118171924310171504211622018
7 7191514610231324129182014112816052217321
8 8222016157112414113101921251239170623184
9 9523211716812115214112022361341018072419
10 1020624221817913216315122123471451119081
11 1122171231918101431741613222458156122009
12 1210322822420191115418517142316916713210
13 1301142393121201216519618152427101781422
14 1423012524104222211317620719161381118915
15 1516240136111532322141872182017249121910
16 1611171014721264242315198229211835101320
17 1721121820158313751241620923102219461114
18 1815221319301694148621172110241123205712
19 1913162314204017105159732182211112242168
20 2091417241521501811616108431923122131227
21 2181015181162260191271711954202413314223
22 2224911161921723702013818121065211144153
23 2341101217203182480211491913117622215516
24 2417521113182141919022151020141287233166
×0123456789101112131415161718192021222324
0 0000000000000000000000000
1 0123456789101112131415161718192021222324
2 0234567891011121314151617181920212223241
3 0345678910111213141516171819202122232412
4 0456789101112131415161718192021222324123
5 0567891011121314151617181920212223241234
6 0678910111213141516171819202122232412345
7 0789101112131415161718192021222324123456
8 0891011121314151617181920212223241234567
9 0910111213141516171819202122232412345678
10 0101112131415161718192021222324123456789
11 0111213141516171819202122232412345678910
12 0121314151617181920212223241234567891011
13 0131415161718192021222324123456789101112
14 0141516171819202122232412345678910111213
15 0151617181920212223241234567891011121314
16 0161718192021222324123456789101112131415
17 0171819202122232412345678910111213141516
18 0181920212223241234567891011121314151617
19 0192021222324123456789101112131415161718
20 0202122232412345678910111213141516171819
21 0212223241234567891011121314151617181920
22 0222324123456789101112131415161718192021
23 0232412345678910111213141516171819202122
24 0241234567891011121314151617181920212223

Ayrıca bakınız

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.