GF(2)
GF(2) (ayrıca F2, Z/2Z veya Z2 olarak da yazılır), iki ögeli ve en küçük sonlu alandır (Galois field).
Tanım
İki öge hemen hemen her zaman 0 ile 1 olarak adlandırılır. Bunlar sırasıyla toplama özdeşliği ve çarpma özdeşliğidir.
Alanda toplama işlemi, mantıksal XOR'a uygun biçimde aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Alanda çarpma işlemi mantıksal VE'e uygun biçimde aşağıda tabloda verilmiştir.
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
GF(2), Z tamsayılar halkasının bölüm halkası olarak da tanımlanabilir. Çünkü tüm çift sayılarda 2Z idealdir: GF(2) = Z/2Z.
Özellikler
GF(2) bir alan olduğunda dolayı, rasyonel sayılar ve reel sayılar gibi sayı sistemlerinin özelliklerine çok benzer, şöyle ki:
- toplamada birim öğe (0) ve her öge için tersi vardır;
- çarpmada birim öğe (1) ve her öge için tersi vardır;
- toplama ve çarpma değişme özelliği ve birleşme özelliğine sahiptir.;
- çarpma, toplama üzerinden dağılma özelliğine sahiptir..
Reel sayılarda benzer olmayan özellikler şunlardır:
- GF(2)'nin her x ögesi, x+x=0 eşitliğini sağlar ve bu yüzden −x = x;
- GF(2)'nin her x ögesi, x2 = x eşitliğini sağlar.
Uygulamalar
Yukarıdaki cebirsel özelliklerden dolayı, diğer dallar gibi matematikte de GF(2) sıkça kullanılır. Örneğin, ters matris te dahil matris işlemleri, GF(2) alanında uygulanabilir. (matris halkasına bakın).