Asal kuvvet

Asal kuvvetler, asal sayıların kuvvetleridir. (2'nin kuvveti hariç) her bir asal kuvvetin bir ilkel kökü vardır.

Bir sonlu alanın ögelerinin sayısı daima bir asal kuvvettir. Aksine her asal kuvvet bazı sonlu alandaki öge sayısı kadar oluşur. Bu alan izomorfizme kadar eşsizdir.

Asal kuvvetlerin kombinasyon özelliği, analitik sayı kuramında sıkça kullanılır. Asal kuvvetler kümesi, karşılıklı yakınsağının sonsuz toplamında sonsuz toplamında asal olmayan bir küçük kümedir.

Bir asal kuvvetin (φ) Totient fonksiyonu ile (σ₀) ve (σ₁) sigma fonksiyonları şu formüllerle hesaplanır:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Tüm asal kuvvetler, eksik sayılardır. Bir pⁿ asal kuvveti, n-asalımsıdır. Bir pⁿ asal kuvvetinin bir yandaş sayı olup olmadığı bilinmez. Eğer sayı varsa, pⁿ, 10¹⁵⁰⁰'den ve n, 1400'den daha büyük olmalıdır.