Totient

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden ile simgelendiği için Fi fonksiyonu olarak da anılabilir.

φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri

Örneğin, zira 10 ile dört sayma sayısı, hem 10'dan küçüktür, hem de 10 ile arasında asaldır: 1, 3, 7 ve 9.

Euler fonksiyonu, Euler Fermat teoreminde de kullanılır. Şöyle ki:

, a ile n aralarında asal ise. Dolayısıyla, , n'in bir tam katıdır.

Örneğin, , için sırasıyla , 10'un bir tam katıdır.

Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.

Totient fonksiyonunun hesaplanması

Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre ve eğer p bir asal sayıysa . Bunun yanında, totient fonksiyonunun çarpım özelliği de vardır: m ve n aralarında asallarsa . (Bu yargının ispatının anahattı: A,B ve C kümeleri sırasıyla m,n ve mn ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çinlilerin kalan teoreminden yararlanılırsa göürülür ki, AxB ve C arasında eşleme olur.) Yani, fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Öyleyse,

için

Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle

şeklinde yazılır.

Hesaplama Örneği

Yani yazıyla ifade edersek, 36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 36'nın yarısı olan 18 tane sayı 2 ile bölünür, dolayısıyla 36 ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3'te biri 3 ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.

Fonksiyonun Bazı Değerleri

İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:

İlk 100 değerin grafiğe dökümü
+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
0+  112242646
10+ 41041268816618
20+ 812102282012181228
30+ 8301620162412361824
40+ 16401242202422461642
50+ 20322452184024362858
60+ 16603036324820663244
70+ 24702472364036602478
80+ 32544082246442564088
90+ 24724460467232964260

Fonksiyonun Özellikleri

sayısı aynı zamanda dairesel grup olan Cnnin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenleCnin her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. Cnnin algrupları Cd formundadır, eğer d böler n (d | n şeklinde yazılır). Böylece

Buradaki toplam nnin tüm d pozitif bölenlerine kadar genişler.

Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:

Burada, μ pozitif tam sayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.

Euler'in teoremine göre, eğer a ile n aralarında asallarsa, yani ebob(a, n) = 1,

Bu durum Lagrange'ın teoremini ve anın nin mod n'e göre tam sayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak a ile n aralarında asallarsa).

Formül Geliştirilmesi

Burada gösterilen iki fonksiyon da

nın sonucudur.

(n)yi içeren bir Dirichlet Serisi

öyle ki ζ(s) Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:

Lambert serisi fonksiyonu,

öyle ki |q|<1 için ıraksar.

Bu durumun nedeni

yani

Fonksiyonun Büyümesi

nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçüknler için in nden küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,

(herhangi bir ε > 0 ve n > N(ε) için)

Aslında

ele alınırsa,

yazılabilir. p|ni sağlayan p asal sayıları için)

Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:

de ortalama olarak ne yakındır.

Yani

ndan rastgele seçilen iki pozitif sayının aralarında asal olma olasılığı n sonsuza yaklaşırken a yaklaşır. Bununla ilgili bir sonuç da,

ile gösterilir; çünkü , formül bu şekilde de ifade edilebilir.

Euler Totient Fonksiyonu'nu İçeren Diğer Formüller

Burada m > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω(m) min asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül nden küçük ve m ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)

Eşitsizlikler

fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:

n > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,
n için > 0,

ve

n asal sayısı için, açıkça .

n birleşik sayısı için

.

Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:

fonksiyonu ile fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:

Ford'un Teoremi

Ford, her k  2 tam sayısı için φ(x) = m eşitliğinin tam olarak k sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir m sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, k = 1 için herhangi bir m bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir min varolmadığına inanılır.

Kaynakça

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.
  • Bach, E.; Shallit, J. (1996), Algorithmic Number Theory, 1, Cambridge, MA: MIT Press, ISBN 0-262-02405-5. See page 234 in section 8.8.
  • Ford, K. (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1), ss. 283-311, doi:10.2307/121103, 1715326.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.