Planck birimleri

Ölçü özellikli tüm temel birim sistemlerinde, örneğin SI'da uzunluk temel birimi metredir. Planck birimler sisteminde uzunluk birimi Planck uzunluğu, zaman birimi de Planck zamanıdır, vb. Bu birimler Tablo 1'deki beş adet boyutsal olan evrensel fizik sabitinden türetilmiştir. Bunun yöntemi, fiziksel nicelikler Planck birimi olarak ifade edildiğinde, fizik yasasının temel denklemleri kullanılarak sabitlerin eliminasyonudur. Örneğin Newton'ın evrensel kütleçekim yasası şöyledir;

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

Şöyle de ifade edilebilir;

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left(m_{1}/m_{\text{P}}\right)\left(m_{2}/m_{\text{P}}\right)}{\left(r/l_{\text{P}}\right)^{2}}}.}$

Her iki denklem de boyutsal olarak tutarlıdır ve herhangi bir birim sisteminde eşdeğerdir. Fakat ikinci denklemde G elendiğinden dolayı yalnızca boyutsuz niceliklerle ilgilidir. Çünkü iki benzer boyutlu niceliklerin oranı, boyutsuz bir nicelik olur. Eğer bir stenografi dönüşümü yapılırsa, tüm fiziksel niceliklerin Planck birimleri ile ifade edilebileceği görülebilir. Yukarıda orandaki ilgili birimler ölçeklenmeksizin, basit fiziksel sembollerle ifade edilebilir;

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .}$

Yukarıdaki birinci denklemde Gnin elenmesi sonucu elde edilen bu son denklemin anlaşılabilmesi için F, m₁, m₂, ve r niceliklerinin boyutsuz sayısal değerleri, Planck birimlerine dönüştürülmelidir. Planck birimlerinin ve diğer doğal birimlerin niçin kullanıldığının bir göstergesi; G = c = 1,

Boyut sembolleri: L = uzunluk, M = kütle, T = zaman, Q = elektriksel yük, Θ = sıcaklık.
Not: Tabloda parantezler içindeki iki rakam, (örneğin yerçekimi sabiti değerindeki 80 sayısı) yaklaşık değerin standart hatasını verir.

Yukarıda da görüldüğü gibi her biri 1 Planck kütlesine sahip olan ve aralarında 1 Planck uzunluğu kadar mesafe olan iki cismin kütleçekim kuvvetine, 1 Planck kuvveti denir. Ayrıca ışık hızı, 1 Planck uzunluğundaki mesafeyi 1 Planck zamanında kat eder. Beş temel Planck biriminin büyüklük değerlerini SI veya diğer birim sistemlerini tanımlamak için, yukarıdaki iki denklem ve aşağıdaki beş denklem yeterlidir:

${\displaystyle l_{\text{P}}=ct_{\text{P}}}$

${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=G{\frac {m_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}^{2}}}=\hbar {\frac {1}{t_{\text{P}}}}}$

${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}^{2}}}=k_{\text{B}}T_{\text{P}}.}$

Bilinmeyen beş sonuç için yukarıdaki beş denklemin çözümü, Tablo 2'deki beş temel Planck birimini verir:

{{| class="wikitable" ! Boyut ! İfade ! Değer[4] (SI birimleri) |- align="left" | Planck uzunluğu | Uzunluk (L) | ${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$ | 1.616 199(97) × 10⁻³⁵ m[5] |- | Planck kütlesi | Kütle (M) | ${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$ | 2.176 51(13) × 10⁻⁸ kg[6] |- | Planck zamanı | Zaman (T) | ${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$ | 5.391 06(32) × 10⁻⁴⁴ s[7] |- | Planck yükü | Elektriksel yük (Q) | ${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$ | 1.875 545 956(41) × 10⁻¹⁸ C[8][9][10] |- | Planck sıcaklığı | Sıcaklık (Θ) | ${\displaystyle T_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$ | 1.416 833(85) × 10³² K[11] |}

Herhangi bir ölçü sisteminde, birçok fiziksel nicelik için türetilen birimler temel birimlerden elde edilmiştir. Tablo 3'te örnek olarak türetilen Planck birimleri verilmiştir. Bunlardan bazıları nadiren kullanılır.

Boyut	İfade	Yaklaşık SI eşdeğeri
Planck alanı	Alan (L2)	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	2.61223 × 10−70 m2
Planck hacmi	Hacim (L3)	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4.22419 × 10−105 m3
Planck momentumu	Momentum (LMT−1)	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6.52485 kg m/s
Planck enerjisi	Enerji (L2MT−2)	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1.9561 × 109 J
Planck kuvveti	Kuvvet (LMT−2)	${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1.21027 × 1044 N
Planck gücü	Güç (L2MT−3)	${\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3.62831 × 1052 W
Planck yoğunluğu	Yoğunluk (L−3M)	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.15500 × 1096 kg/m3
Planck açısal frekansı	Açısal frekans (T−1)	${\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1.85487 × 1043 s−1
Planck basıncı	Basınç (L−1MT−2)	${\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4.63309 × 10113 Pa
Planck akımı	Elektrik akımı (QT−1)	${\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}}$	3.4789 × 1025 A
Planck gerilimi	Gerilim (L²MT−2Q−1)	${\displaystyle V_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}}$	1.04295 × 1027 V
Planck empedansı	Direnç (L2MT−1Q−2)	${\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {V_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	29.9792458 Ω

Zaman ve uzunluk gibi farklı boyutlara sahip fiziksel nicelikler, sayılar değerlere sahip olsalar bile eşleştirilemezler. Örneğin 1 saniye ile 1 metre aynı değildir. Fakat bu tereddüt kuramsal fizikte, bir tarafa bırakılır ve bu süreç boyutsuzlaştırma olarak adlandırılır. Tablo 4, temel Planck birimlerinin sayısal değerlerinin nasıl elde edildiğini gösteriyor.

Tablo 4: Planck birimlerinin basitleştiren fiziksel denklemler

	SI biçimi	Boyutsuzlaştırılan biçim
Newton'ın evrensel kütleçekim yasası	${\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$
Genel görelilikteki Einstein alan denklemleri	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$
Özel görelilik E=mc²	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$	${\displaystyle {E=m}\ }$
Enerji-momentum ilişkisi	${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;}$	${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}\;}$
Termal enerji bölü parçacık bölü serbestlik derecesi	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\ }$	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}T}\ }$
Boltzmann entropi formülü	${\displaystyle {S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\ }$	${\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }$
Enerji ve açısal frekans için Planck sabiti	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$	${\displaystyle {E=\omega }\ }$
Kara cisim için T sıcaklığındaki Planck kanunu (yüzey şiddeti bölü birim katı açı bölü birim açısal frekans).	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}}$	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}}$
Stefan–Boltzmann sabiti (σ) ifadesi	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{\text{B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}$	${\displaystyle \ \sigma =\pi ^{2}/60}$
Bekenstein–Hawking kara delik entropisi[12]	${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}k_{\text{B}}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}}$	${\displaystyle S_{\text{BH}}=A_{\text{BH}}/4=4\pi m_{\text{BH}}^{2}}$
Schrödinger denklemi	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)}$
Schrödinger denkleminin Hamilton biçimi	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t}$	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t}$
Dirac denkleminin kovaryans biçimi	${\displaystyle \ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$	${\displaystyle \ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$
Coulomb yasası	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$
Maxwell denklemleri	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\epsilon _{0}}}\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Bazı Planck birimlerinin günlük yaşamda büyüklük ölçümleri için kullanılabilirler: Örneğin

• 1 Planck kütlesi yaklaşık 22 mikrogram;
• 1 Planck momentumu yaklaşık 6,5 kg m/s (veya N·s);
• 1 Planck enerjisi yaklaşık 500 kWh;
• 1 Planck yükü hemen hemen 11,7 temel yük;
• 1 Planck empedansı 30 ohma çok yakındır.

• Boyut analizi
• Planck ölçeği
• Planck parçacığı
• Doğal birimler

• Value of the fundamental constants13 Ağustos 2001 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., including the Planck base units, as reported by the National Institute of Standards and Technology (NIST).
• Sections C-E of collection of resources28 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. bear on Planck units. Good discussion of why 8πG should be normalized to 1 when doing general relativity ve quantum gravity. Many links.
• The universe and the parameters that describe it in Planck units 1 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Pulls together various physics concepts into one unifying picture.