Multinom dağılımı

Multinom
	Olasılık kütle fonksiyonu;
	Yığmalı dağılım fonksiyonu;
Parametreler	denemeler sayısı (tam sayı); olay olasılıkları()
Destek	;
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan
Mod
Varyans	; ()
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde her bir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani

p₁, ..., p_k

bulunmaktadır; bunlar için

p_i ≥ 0 eğer i = 1, ..., k

ve $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$ n sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan $X_{i}$ n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder. $X=(X_{1},\ldots ,X_{k})$ ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör p=(p₁, ..., p_k) olarak da yazılabilir.

Tanımlama

Olasılık kütle fonksiyonu

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

{\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ ve }}\dots {\mbox{ ve }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{eğer }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{diğer hallerde,}}\end{cases}}\end{aligned}}

burada x₁, ..., x_k negatif olmayan tam sayılardır.

Özellikleri

Beklenen değer şudur:

\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

\operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}

Burada i, j birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi k - 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.

Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

\rho (X_{i},X_{j})=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve p_i parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek

\{(n_{1},\dots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}|n_{1}+\cdots +n_{k}=n\}.

değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

{n+k-1 \choose k}=\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle ,

olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.

İlişkili dağılımlar

Eğer k = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
Dirichlet dağılımı Bayes tipi istatistikte multinom dağılımının eşlenik önselidir.
Çokdeğişirli Polya dağılımı

Ayrıca bakınız

Multinom teoremi

Kaynakça

Dış bağlantılar

Ayrık olasılık dagılımı - Multinom Dağılımı

Bibliyografya

Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) Statistical Distribution 3ncu ed. Wiley: New York say.134-13 isbn = 0-471-37124-6

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

Olasılık dağılımları
Ayrık tek değişkenli ve sonlu destekli	Ayrık tekdüze · Benford · Bernoulli · Binom · Kategorik · Hipergeometrik · Rademacher · Zipf · Zipf-Mandelbrot
Ayrık tek değişkenli ve sonsuzluk destekli	Boltzmann · Conway-Maxwell-Poisson · Bileşik Poisson · Ayrık faz tipi · Genişletilmiş negatif binom · Gauss-Kuzmin · Geometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Skellam · Yule-Simon · Zeta
Sürekli tek değişkenli ve [0,1] gibi bir sınırlı aralıkta destekli	Beta · Irwin-Hall · Kumaraswamy · Kabartılmış kosinus · Üçgensel · U-kuadratik · Sürekli tekdüze · Wigner yarımdaire
Sürekli tek değişkenli ve genellikle (0,∞) yarı-sonsuz aralığında destekli	Beta prime · Bose–Einstein · Burr · Ki-kare · Coxian · Erlang · Üstel · F-dağılımı · Fermi-Dirac · Katlanmış normal · Fréchet · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Yarı-normal · Hotelling'in T-kare · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare (Ölçeklenmiş ters ki-kare) · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Lévy · Log-normal · Log-logistik · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hız · Nakagami · Merkezsel olmayan ki-kare · Pareto · Faz-tipi · Rayleigh · Relativistik Breit–Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Kesilmiş normal · 2.tip Gumbel · Weibull · Wilks'in lambda
Sürekli tek değişkenli ve (-∞,∞) arasındaki tüm reel doğru üzerinde destekli	Cauchy · Uçsal değer · Üstel güç · Fisher'in z · Genelleştirilmiş hiperbolik · Gumbel · Hiperbolik sekant · Landau · Laplace · Lévy çarpık alfa-durağan · Logistik · Normal (Gauss tipi) · Normal ters Gauss-tipi · Çarpık normal · Student'in t · 1.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt
Çok değişkenli (birleşik)	Ayrık: Ewens · Beta-binom · Multinom · Çokdeğişirli Polya Sürekli: Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · normal-ölçeklenmiş ters gamma · Normal-gamma Matris-değerli: Ters-Wishart · Matris normal · Wishart
Yönsel, Bozulmuş ve singuler	Yönsel: Kent · von Mises · von Mises–Fisher Bozulmuş: Ayrık bozulmuş · Dirac delta fonksiyonu Singuler: Cantor ·
Aileler	Üstel · Doğasal üstel · Konum-ölçekli · Maksimum entropi · Pearson · Tweedie