Log-normal dağılım

Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu ${\displaystyle x>0}$ için şudur:

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

Burada μ ve σ değişkenin logaritma değerleri için ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komunikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.

Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$

Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.

Beklenen değer (ortalama) şudur:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}$

Varyans şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}\,\!}$

ve standart sapma şu olur:

${\displaystyle \mathrm {StdDev} (X)={\sqrt {\mathrm {Var} (X)}}={\sqrt {(e^{\sigma ^{2}}-1)}}e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}$

Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ² değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}\right)\,\!}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left({\frac {\mathrm {Var} (X)}{(\mathrm {E} (X))^{2}}}+1\right)\,\!}$

Bu dağılım için mod şudur:

${\displaystyle \mathrm {Mode} (X)=e^{\mu -\sigma ^{2}}\,\!}$

Medyan şudur:

${\displaystyle {\tilde {X}}=e^{\mu }\,\!}$

Log-normal dağılım için geometrik ortalama ${\displaystyle e^{\mu }\,\!}$ ve geometrik standart sapma ${\displaystyle e^{\sigma }\,\!}$ olur.

Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.

Güvenlik aralığı sınırları	Log uzayi	Geometrik
3σ alt sınır	${\displaystyle \mu -3\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!}$
2σ alt sınır	${\displaystyle \mu -2\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!}$
1σ alt sınır	${\displaystyle \mu -\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!}$
1σ üst sınır	${\displaystyle \mu +\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }\,\!}$
2σ üst sınır	${\displaystyle \mu +2\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}\,\!}$
3σ üst sınır	${\displaystyle \mu +3\sigma \,\!}$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}\,\!}$

Burada geometrik ortalama ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )\,\!}$ ve geometrik standart sapma ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )\,\!}$ olur.

Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}\,\!}$

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}\,\!}$

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}\,\!}$

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}\,\!}$

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}\,\!}$