Normal dağılım

Normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu

Normal dağılım için sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu şu Gauss-tipi fonksiyondur:

${\displaystyle \varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

Burada σ > 0 standart sapmadır; bir reel parametre olan μ beklenen değerdir; ve

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,}$

ifadesi standart normal dağılım için yoğunluk fonksiyonudur. Standart normal dağılım μ = 0 ve σ = 1 parametreleri olan bir normal dağılımdır.

${\displaystyle \varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}}$

ifadesinin reel doğru üzerindeki integral değeridir. (Ayrıtıları için Gauss-tipi entegral maddesine bakınız.)

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri arasında şunlar başta gelenlerdir:

• ortalama değer μ etrafında simetrik olma;
• hem modun hem de medyanın ortalama μ değerine eşit olması;
• yoğunluk eğrisinin üzerindeki, ortalamadan birer standart sapma altında ve üstündeki noktalar arasında (yani μ - σ ve μ+σ noktalarında) bir ''enfleksyon'' noktası bulunması.

Normal dağılım için birikimli dağılım fonksiyonu

Bir olasılık dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu, bir rassal değişken X için olay olasılığının dağılımının x sayısına eşit veya daha düşük olmasına kadar değerlendirilmesiden ortaya çıkar. Normal dağılım için birikimli dağılım fonksiyonu (yoğunluk fonksiyonunda kullanılan ayn terimlerle) şöyle ifade edilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp {\Bigl (}-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ {\Bigr )}\,du\\&{}=\Phi {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )},\quad x\in \mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

Burada, parametreleri μ = 0 ve σ = 1 olan standart normal dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu, Φ, ile ifade edilmiştir ve bu fonksiyon şudur:

${\displaystyle \Phi (x)=\Phi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp {\Bigl (}-{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigr )}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .}$

Standart normal birikimli dağılım fonksiyonu aynı zamanda hata fonksiyonu adı verilen bir özel fonksiyon ifade edilebilir. Hata fonksiyonu şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} ,}$

Böylece hata fonksiyonu terimleri ile standart normal dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu şöyle yazılır:

${\displaystyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} .}$

Standart normal dağılım için birikimli dağılım fonksiyonunun tamlayıcı fonksiyonu (yani ${\displaystyle Q(x)=1-\Phi (x)}$), çok kereQ-fonksiyonu olarak isimlendirilir ve özellikle bu kavram mühendislik kitaplarında büyük önemle yer almaktadır.

Standart normal birikimli dağılım fonksiyonunun tersine kuantil fonksiyonu adı verilir. Bunun formülünü ifade için önce şu ters hata fonksiyonu bulunur:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1),}$

ve bu fonksiyon kullanılarak şu ters birikimli dağılım fonksiyonu ortaya çıkartılır:

${\displaystyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

Bu kuantil fonksiyonuna bazen probit fonksiyonu adı da verilir. Bir probit fonksiyonu için bir elemanter basit entegralbulunamayacağı matematiksel olarak ispat edilmiştir. Normal dağılım için çok iyi sonuçlar verdiği anlaşılan yaklaşık fonksiyonlar ve yöntemler ortaya çıkarılmıştır. Bunlar arasında sayısal entegrasyon, Taylor serileri, asimtotik seriler vedevam eden kesirler yöntemlerinin kullanılması anılabilir.

Büyük değerde bir x sayısı için standart normal dağılım birikimli dağılım fonksiyonun ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (x)}$ değerinin bire,1, yakınsalandığı ve ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi (x)}$ın ise sıfıra,0, yakınsaladığı aşikardır. Yoğunluk${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ terimleri kullanılarak, şu basit üst sınır

${\displaystyle {\frac {x}{1+x^{2}}}\varphi (x)<1-\Phi (x)<{\frac {\varphi (x)}{x}},\qquad x>0,}$

ifadesi yeterlidir.

Yerine koymak suretiyle entegresyon yöntemi kullanarak, üst sınır şöyle ortaya çıkartılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}1-\Phi (x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

Aynı şekilde ${\displaystyle \scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)}$ ifadesini ve bölüm kuralını kullanarak

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}(1-\Phi (x))&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

ifadesi ortaya çıkartılır. Bunun ${\displaystyle \scriptstyle 1\,{-}\,\Phi (x)\,}$ terimleri ile çözümlenmesı yukarıda ifade edilen üst sınırı verir.

Genel olarak moment üreten fonksiyon, exp(tX) için beklenen değer olarak tanımlanır. Bir normal dağılım için moment üreten fonksiyonu şu olur:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&{}=\mathrm {E} \left[\exp {(tX)}\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\exp {(tx)}\,dx\\&{}=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}\end{aligned}}}$

Bu ifade, tanımda verilen üssel değerin, karesini tamamlamak yöntemi dönüştürülmesi ile elde edilmiştir.

Kümülant üreten fonksiyon, moment üreten fonksiyonun logaritmasidir:

g(t) = μt + σ²t²/2.

Bu t terimleri ile bir kuadratik polinom olduğu için yalnız ilk iki kümülant için sıfır olmayan değer bulunabilinir.

Karakteristik fonksiyon, ${\displaystyle i}$ sanal birim ile gösterilen ${\displaystyle \exp(itX)}$ ifadesinin beklenen değersi olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon içindeki ${\displaystyle t}$ teriminin${\displaystyle it}$ ile değiştirilmesi ile elde edilir.

Bir normal dağılımı için karakteristik fonksiyonu şudur:

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t;\mu ,\sigma )&{}=M_{X}(it)=\mathrm {E} \left[\exp(itX)\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx\\&{}=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Yukarıda verilen 1. özellik sonucu olarak tüm normal rassal değişkenleri standart normale dönüştürmek imkânı vardır: Eğer ${\displaystyle X}$ ~ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ise, bu halde

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\!}$

bir standart normal rassal değişken olur; yani ${\displaystyle Z}$ ~ ${\displaystyle N(0,1)}$.

Bunun bir önemli sonucu birikimli olasılık fonksiyonun bir genel normal dağılımı olmasıdır:

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right).}$

Tersini ele alırsak, eğer ${\displaystyle Z}$ bir standart normal dağılım ise, yani ${\displaystyle Z}$ ~ ${\displaystyle N(0,1)}$ ise o halde

${\displaystyle X=\sigma Z+\mu }$

ifadesi de beklenen değeri ${\displaystyle \mu }$ ve varyansı ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ olan bir normal rassal değişkendir.

Standart normal dağılım için çeşitli tablolar bulunmaktadır. Çok kere bu tablolar birikimli dağılım fonksiyonu, Φ şeklindedirler. Diğer normal dağılımlar basit bir dönüşüm ile standart normal dağılıma dönüştürülüp bu tablolardan biri kullanılabilir.

Normal dağılım için ilk birkaç momentleri şunlardır:

Sayı	Ham moment	Merkezsel moment	Kümülant
0	1	1
1	${\displaystyle \mu }$	0	${\displaystyle \mu }$
2	${\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	0	0
4	${\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\displaystyle 3\sigma ^{4}}$	0
5	${\displaystyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	0	0
6	${\displaystyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\displaystyle 15\sigma ^{6}}$	0
7	${\displaystyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	0	0
8	${\displaystyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\displaystyle 105\sigma ^{8}}$	0

Normal dağılım için ilk iki kümülant dışındaki kümülant değerler hep sıfıra eşittir.

Daha büyük sayıya bağlı (${\displaystyle 2k}$ derecede ve ${\displaystyle \mu =0}$) merkezsel momenti şu formül kullanılarak elde edilebilir:

${\displaystyle E\left[x^{2k}\right]={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}.}$

Bilgisayarla simulasyon yapılmakta iken, çok kere bir normal dağılım için değerlerin üretilmesi gerekir. Bunun için birkaç değişik yöntem kullanılabilir. En basit şekilde bir standart normal dağılım birikimli olasılık fonksiyonunun tersini almak suretiyle elde edilir. Daha etkin yöntemler de geliştirilmiştir.

Çok popüler olarak kullanılan yöntem Box-Muller dönüşümüdür. Box-Muller algoritması kullanılması, [0,1] arasında bulunan sürekli tekdüze dağılım gösteren iki sayı a ve b ile başlar; bunlardan şu formüllere göre iki standart normal dağılım gösteren c ve d sayıları şöyle elde edilir:

${\displaystyle c={\sqrt {-2\ln a}}\cdot \cos(2\pi b)}$

${\displaystyle d={\sqrt {-2\ln a}}\cdot \sin(2\pi b)}$

Bunların elde edilmesi, dönüşümün bazında (yukarıda 4. özellikte gösterilen) 2 serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımının kolayca üretilebilinen bir üstel rassal değişken olması gerçeğine dayandırılır.

Halen en etkin şekilde normal dağılımı simulasyonu için, ziggurat algoritması kullanılmaktadır.

n=48 ve p=1/4 parametreleri olan bir binom dağılımının olasılık kütle fonksiyonun yaklaşımı olarak μ = 12 ve σ = 3 parametreli bir normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun gösterinimi.

Sonlu varyansları olan bağımsız ve aynı dağılımlı rassal değişkenler ve benzeri koşullar altında, büyük sayıda rassal değişkenlerin toplamı yaklaşık olarak normal dağılım gösterir. Bu merkezsel limit teoremidir.

Merkezsel limit teoreminin pratik önemi normal birikimli dağılım fonksiyonunun bazı diğer birikimli dağılım fonksiyonunun yaklaşıkı olarak kullanabilmesindedir. Örneğin

• Parametreleri n ve p olan bir binom dağılım için, eğer büyük değerlerde, ama 0 veya 1e çok yakın olmayan n vepbulunursa bir normal dağılımına yaklaşmış oldukları kabul edilebilir. (Bazı istatistik kitapları bu yaklaşımın np ve n(1 -pdeğerlerinin her ikisi için en aşağı 5 olması halinde uygulanmasını ve eğer 5 olurlarsa bir devamlılık doğrulaması kullanılmasını tavsiye ederler.)
  Eğer yaklaşık olarak normal dağılımı kullanılırsa bunun parametreleri μ = np ve σ² = np(1-p) olarak bulunması gerekir.
• Eğer λ'nin değeri büyük ise, λ parametreli Poisson dağılımı için yaklaşık olarak normal dağılım kullanılabilir ve bu halde yaklaşık normal dağılımın parametreleri μ = σ² = λ olarak bulunur.

Bu yaklaşımların yeter derecede doğru olup olmayacağı, sonuçların ne maksatlarla kullanacaklarına ve normal dağılımın yakınsalama oranına bağlıdır. Bu tip yaklaşımlar dağılımın kuyruk değerlerine yaklaştıkça gittikce daha çok hatalı olacaklardır. Berry-Essen teoremi birikimli dağılım fonksiyonu için yaklaşım hatası için genel üst sınırları gösterir.

Normal dağılımlar sonsuz olarak bölünebilen olasılık dağılımlarıdır: Bir ortalama değeri μ, bir varyans değeri σ²≥ 0, ve bir doğal sayı değeri n verildiği zaman, n bağımsız rassal değişkenlerin toplamı olan 'X₁ + . . . +X_n' şu normal dağılımı gösterir:

${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\sim N(\mu /n,\sigma ^{2}\!/n)\,}$ç

(Daha fazla ayrıntı için matematik tümevarım ile normal dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı maddelerine bakınız.)

Normal dağılımlar kesinlikle dengelilik gösteren olasılık dağılımlarıdır.

Koyu mavi ortalamadan bir standart sapma daha küçüktür. Bir normal dağılım için bu (koyu mavi) eğrinin altında kalan alan, toplam alanın %68'ini kapsar. Ortalamadan iki standart sapma aralığında noktalar için eğrinin altında kalan alan (açık, orta ve koyu mavi alan) toplam alanın %99.7sini kapsar.

Bir normal dağılımdan seçilmiş değerlerin %68i ortalama olan μ'in bir standart sapma σ > 0 uzaklığındaki noktalar arasındadır; değerlerin neredeye %95i μ'den iki standart sapma uzaklıklar aralığında; ve %99,7 üç standart sapma uzaklıklar aralıgında bulunur. Buna empirik kural veya 68-95-99.7 kuralı adı da verilir.

Daha doğru bir kesin ifadeyle μ - nσ ve μ + nσ arasındaki çan eğrisinin altında kalan alanın birikimli normal dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu +n\sigma )-\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(\mu -n\sigma )\\&=\Phi (n)-\Phi (-n)=2\Phi (n)-1=\mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )},\end{aligned}}}$

Burada erf hata fonsiyonudur. Ondalık sayılarla 12 basamak kullanılarak 1-, 2- .. 6- sigma noktalarına kadar değerler soyle verilir:

${\displaystyle n\,}$	${\displaystyle \mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )}\,}$
1	0.682689492137
2	0.954499736104
3	0.997300203937
4	0.999936657516
5	0.999999426697
6	0.999999998027

İkinci tablo çan eğrisinin altındaki alan için değerlerin bulunmasını sağlamak üzere, çok zaman kullanılan katsayı değerlerindeki, sigma çarpanlarının ters ilişkisini gösterir. Normal dağılım gösteren veya asimtotda normal olan kestirimler için belirtilmiş olan seviyelerde (asimtotik) güvenlik aralığını saptamak için bu değerler çok kullanışlıdır:

${\displaystyle \mathrm {erf} {\bigl (}n/{\sqrt {2}}\,{\bigr )}}$	${\displaystyle n\,}$
0.80	1.28155
0.90	1.64485
0.95	1.95996
0.98	2.32635
0.99	2.57583
0.995	2.80703
0.998	3.09023
0.999	3.29052

Bu tabloda sol taraftaki sütun bilinen bir aralığa düşecek değerlerin oranı verilmekte ve soldaki n sütunu ise aralığın genişliğinin kaç tane standart sapma birimini ihtiva ettiğini göstermektedir.

Normal dağılım bir iki parametreli üstel ailesi elemanıdır. İki tane doğal parametresi μ ve 1/σ² olur ve doğal istatistikleri X ve X² dir. Kanonik şeklinin parametreleri ${\displaystyle {\mu \over \sigma ^{2}}}$ ve ${\displaystyle {1 \over \sigma ^{2}}}$ olup yeterli istatistikleri ${\displaystyle \sum x}$ ve ${\displaystyle -{1 \over 2}\sum x^{2}}$ olur.

Puan verme çeşitlerinin çoğu normal dağılıma bağlı olarak ortaya çıkarılmıştır. Değişik puanlama yöntemleri arasında yüzbirliklerle sıralamalar, normal eğri eşitliklikleri, staninler, z puanı ve T-puanlaması vb. sayılabilir. Davranışsal bilimlerde kullanılan birçok istatistiksel yordamlar puanların normal dağılım gösterdiği varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir. Örneğin çok kişiye uygulanan imtihan veya zeka testleri için bir çan eğrisine dayanan not verilip imtihan veya test sonuçlarının gruplanması veya sıralanması imtihan veya test notlarının normal dağılım gösterdiği varsayımına dayandırılır.

Normallik sınamaları, verilmiş bir veri dizisinin normal dağılıma benzerliğinin incelenmesidir. Bu sınamalarda sıfır hipoztez veri dizisinin normal dağılıma benzer olmasıdır. Bu nedenle normal olmayan veri için yeter derecede küçük bir p-değeri (yani genellikle %0,05'ten veya 0,01den küçük) ortaya çıkacak ve sıfır hipotez olan veri dizisinin normal dağılıma benzerliği hipotezinin ret edilmesine neden olacaktır.

• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Lilliefors sınaması
• Anderson-Darling sınaması
• Ryan-Joiner sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Normal olasılık gösterimi (rankit gösterimi)
• Jarque-Bera sınaması

Bir düşünce denemesi olarak, bir seri normal dağılım için

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

ifadesinin her biri diğerinden bağımsız olduğu düşünülsün. Her bir ifade beklenen değersi μ ve varyansı σ²>0 olan normal dağılımlar göstermektedir. İstatistikçiler bu n rassal değişkenin gözümlenen değerlerinin normal dağılım gösteren bir anakütleden ortaya çıkan bir n büyüklüğüde bir örneklem olduğunu kabul etmektedirler. Bu örneklemden gözlenen değerlere dayanarak "anakütle ortalaması" μ ve "anakütle standart sapması" kestirimcilerini bulmak arzu edilmektedir. Bu n sayıdaki bağımsız rassal değişken için sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,\sigma )&=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x_{i})\\&={\frac {1}{(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{n}}}\prod _{i=1}^{n}\exp {\biggl (}-{1 \over 2}{\Bigl (}{x_{i}-\mu \over \sigma }{\Bigr )}^{2}{\biggr )},\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.\end{aligned}}}$

μ ve σ fonksiyonları olarak, X₁, ..., X_n gözlemlerine dayanan olabilirlik fonksiyonu şudur:

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp \left(-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right),\quad \mu \in \mathbb {R} ,\ \sigma >0,}$

Burada C>0 herhangi bir sabittir. Bunun genellikle X₁,...,X_n değişkenlerine bile dayanarak bağlandığı kabul edilmektedir; ama hesaplanan parametrelere göre log-olabilirlik fonksiyonların kısmî türevleri bulunduğu zaman sabit oldukları için elimine edilmektedirler.

Maksimum olabilirlik yöntemine göre olabilirlik fonksiyonu maksimize eden μ ve σ değerleri, teorik anakütle parametreleri olan μ ve σ için kestirim oldukları kabul edilmektedir. Genel olarak iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum değerini hesaplanmaktayken kısmî türevler kullanılır. Ancak burada maksimum hesaplama daha kolaylaşmaktadır çünkü olabilirlik fonksiyonunu maksimize eden μ değeri bulunmakta iken σ anakütle parametresi olan σya bağımlı olmayan bir sabittir. Bundan dolayı ilk olarakμ değeri bulunur; bu değer olabilirlik fonsiyonundaki μ değişkeni yerine konulur ve bu yeni tek değişkenli fonksiyonu maksimize eden σ değeri bulunur.

olabilirlik fonksiyonunun şu toplam ifadesinin bir azalan fonksiyonu olduğu bilinmektedir:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}.\,\!}$

Bu toplam ifadeyi minimize edecek μ değerini bulmak istenmektedir. Şu ifade

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

n gözleme dayanan bir "örneklem ortalamasıdır. Böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}&=\sum _{i=1}^{n}{\bigl (}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})+({\overline {X}}_{n}-\mu ){\bigr )}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+2({\overline {X}}_{n}-\mu )\underbrace {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})} _{=\,0}+\sum _{i=1}^{n}({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}+n({\overline {X}}_{n}-\mu )^{2}.\end{aligned}}}$

Bu ifadede so terim μ değişkenine bağlıdır ve bu terimin minimum değeri şöyle bulunur:

${\displaystyle {\widehat {\mu }}_{n}={\overline {X}}_{n}.}$

İşte bu ifade n sayıda X₁,....,X_n gözlem kullanarak μnun maksimum olabilirlik kestirimidir. Sonuç olarak

${\displaystyle L({\overline {X}}_{n},\sigma )={\frac {C}{\sigma ^{n}}}\exp {\biggl (}-{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}}{\biggr )},\quad \sigma >0.}$

elde edilir. olabilirlik fonksiyonunun logaritmasi olan log-olabilirlik fonksiyonu matematik notasyona göre küçük harflerle (yani${\displaystyle \ell }$, yazılması alışılagelmiştir.

${\displaystyle \ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )=\log C-n\log \sigma -{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over 2\sigma ^{2}},\quad \sigma >0,}$

Sonra

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \over \partial \sigma }\ell ({\overline {X}}_{n},\sigma )&=-{n \over \sigma }+{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2} \over \sigma ^{3}}\\&=-{n \over \sigma ^{3}}{\biggl (}\sigma ^{2}-{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}{\biggr )},\quad \sigma >0.\end{aligned}}}$

olur. Bu türev, σ² değeri 0 ile

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{n}^{2}:={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2},}$

değeri arasında ise pozitif olur; bu değere eşitse türev sıfıra eşittir; bu değerden büyükse türev negatif olur.

Bu analizin sonucu olarak bu bulunan artıklar n gözlemli örneklem için σ² bir maksimum olabilirlik kestirimidir ve bunun kare kökü σ için maksimum olabilirlik kestirimdir. Bu kestirim yani${\displaystyle {\hat {\sigma }}{}_{n}^{2}}$ bir yanlı kestirimdir. Alışılagelen yansız kestirim n/(n - 1) çarpı bu kestirimdir. Ancak yanlı maksimum olabilirlik kestirimi için ortalama hata karesi yansız kestirimden daha küçüktür.

Bir örneklemden elde edilen anakütle ortalamasının maksimum olabilirlik kestirimcisi, anakütle ortalamasının yansız kestirimcisiolarak bilinir. Aynı şekilde anakütle ortalaması önsel olarak bilinirse, varyans için maksimum olabilirlik kestrimcisi de yansız kestirimcidir. Ancak eğer elimizde bir örneklem bulunuyorsa ama bu örneklemin geldiği anakütlenin ne ortalamasının ne de varyansının değerlerin bilmiyorsak, anakütle varyansının yansız kestrimicisi, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, şöyle ifade edilir:

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}.}$

Eğer tüm X_i birbirinden bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösterirlerse, bu "örneklem varyansı" bir Gamma dağılımıgösterir:

${\displaystyle S^{2}\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {n-1}{2}},{\frac {2\sigma ^{2}}{n-1}}\right).}$

• Mathworld: Normal dağılım
• GNU Bilimsel Kutuphane – Referans Elkitabı–Gauss-tipi dağılım
• PlanetMath: Normal rassal değişken
• Sezgi yoluyla normal dağılım türetme
• Normal dağılım Karl Gauss tarafında mı bulunmuştur? Euler'in bulduğu gamma fonksiyonlari ailesi ve bunların istatistik tarihindeki yeri
• Maxwell şeytanları: Propozisyonlu dgiskenler hesabi fonksiyonlari kullanarak olasilik dağılımlarının simulasyonu

• Normal dağılım tablosu
• Kümülatif Normal dağılım hesaplama
• Dağılım hesaplayıcısı – Normal, t, ki-kare ve F-dağılımı için kritik değerler ve olasılık hesaplayıcısı29 Ocak 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Normal dağılımlar için Java Appleti
• Etkilişimli (normal dağılım da dahil) dağılım modelcisi
• Normal eğrisi altındaki alan hesaplayıcısı - Daniel Soper'in Free Statistics Calculators websitesi
• Etkileşimli Standart normal eğrisi gösterimi Standart normal eğrinin tek kuyruk ve iki kuyruk alanı için çabuk göz önüne getirme yazılımı.
• Online hesap makinesi Normal dağılım

• Calculating the Cumulative Normal distribution, C++, VBA, sitmo.com
• Normal birikimli dağılım fonksiyonunun tersini hesaplamak icin bir algoritma. , Hazırlayan: Peter J. Acklam – Birkaç değişik yazılım diliyle örnekler var.
• Ters Normal(0,1) dağılımına bir yaklaşım, gatech.edu
• Matematiksel Fonksiyonlar için Elkitabı': P(x) ve Z(x) icin Polinom ve Rasyonel Yaklaşımlar - Abramowitz ve Stegun