Dirac delta fonksiyonu

Adını Paul Dirac' tan alan Dirac delta fonksiyonu tek boyutta

Dirac delta fonksiyonu

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu Yarı-maksimum konvensiyonu , burada x0 = 0
Parametreler	${\displaystyle x_{0}\,}$ konum (reel)
Destek	${\displaystyle x\in [x_{0};x_{0}]}$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle \delta (x-x_{0})\,}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle H(x-x_{0})\,}$   (Heaviside)
Ortalama	${\displaystyle x_{0}\,}$
Medyan	${\displaystyle x_{0}\,}$
Mod	${\displaystyle x_{0}\,}$
Varyans	${\displaystyle 0\,}$
Çarpıklık	(tanımlanmamış)
Fazladan basıklık	(tanımlamamış)
Entropi	${\displaystyle -\infty }$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle e^{tx_{0}}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle e^{itx_{0}}}$

${\displaystyle \delta (x-x_{0})={\begin{cases}\infty ,&x=x_{0}\\0,&x\neq x_{0}\end{cases}}}$

şeklinde tanımlıdır. Bu gösterime uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir. Gösterimi ise ${\displaystyle \delta ^{n}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})}$ şeklinde olur. Burada x ve x₀ n boyutlu vektörlerdir. Diğer taraftan n boyutta delta fonksiyonu her bir boyuttaki delta fonksiyonlarının çarpımı şeklinde de yazılabilir. Örneğin 3 boyutta ${\displaystyle \delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})=\delta (x-x_{0})\delta (y-y_{0})\delta (z-z_{0})}$

Dirac-Delta fonksiyonu basamak fonksiyonunun türevidir. ${\displaystyle \delta (x)={\frac {d\theta (x)}{dx}}}$

Delta fonksiyonunun bazı özellikleri:

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})}$
• ${\displaystyle \delta (kx)={\frac {1}{|k|}}\delta (x)}$
• ${\displaystyle \delta (u(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|u'(x_{i})|}}}$ burada ${\displaystyle x_{i}}$, u(x) fonksiyonunun kökleridir.

Bazı delta temsilleri:

• ${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}$
• ${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\sigma \to 0}{\frac {1}{2\sigma }}e^{-{\frac {x^{2}}{4\sigma ^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}$