Moment üreten fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

${\displaystyle M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,}$

Moment üreten fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır.

Gerçel bileşenli vektör değerli rassal değişkenler X için moment üreten fonksiyon şöyle ifade edilir:

${\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=E\left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)}$

Burada t bir vektördür ve ${\displaystyle \langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }$ nokta çarpan olur.

Şayet t = 0 aralığı etrafında bir momentin bulunduğu bilinirse, şu ifade ninci momenti gösterir:

${\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$

Eğer X için bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f(x) var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,}$

Burada ${\displaystyle m_{i}}$ iinci matematiksel moment olur. ${\displaystyle M_{X}(-t)}$ f(x) fonksiyonunun bir iki taraflı Laplace dönüşümüdür.

Olasılık fonksiyonunun sürekli olup olmadığına bakılmaksızın, moment üreten fonksiyon şu Rimemann-Stieltjes intergali ile verilebilir:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}$

Burada F yığmalı dağılım fonksiyonudur.

Eğer X₁, X₂, ..., X_n bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılma göstermeyen) rassal değişkenlerse, ve a_i verilmiş sabitler olup

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

ise, o halde S_n için olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir X_i için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının konvülasyonu olur ve ayni koşullar için S_nnin moment üreten fonksiyonu şöyle verilir:

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t).}$

Olasılık kuramında her dağılım için genel ve tüm kapsamlı bulunan moment üreten fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık üreten fonksiyon en önemlileridir. Kümülant üreten fonksiyon ise moment üreten fonksiyonun logaritma dönüşümünden oluşur.