Çokdeğişirli normal dağılım

İki boyutlu singuler olmayan halde, ikideğişirli normal dağılım için (ortalamalar (0,0)da ise) olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle tanımlanır:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {x^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}-{\frac {2\rho xy}{(\sigma _{x}\sigma _{y})}}\right)\right)}$

Burada ${\displaystyle \rho }$ terimi ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$ arasındaki korelasyonu gösterir ve şu ifade kovaryans matrisi olur:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho \sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}}}$.

Bir singuler olmayan çokdeğişirli normal dağılım için aynı yoğunluk gösteren kontur eğrileri elipsoitlerdir; yani ortalamada merkezleşmiş çok-boyutlu-kürelerin doğrusal dönüşümleridir. [3]. Bu elipsoitlerin esas eksenlerinin yönleri kovaryans matrisinin özvektörleri (eigenvector) olarak verilmiştir. Esas eksenlerin orantılı uzunluklarının karesi bunlara karşit olan özdeğerler (eigenvalues) olurlar. Bu halde şu ifade ortaya çıkar:

${\displaystyle X\ \sim N(\mu ,\Sigma )\iff X\ \sim \mu +U\Lambda ^{1/2}N(0,I)\iff X\ \sim \mu +UN(0,\Lambda ).}$

Bunun yanında, U bir rotasyon matrisi olarak seçilebilir; çünkü bu eksenin tersini alınca ${\displaystyle N(0,\Lambda )}$ hiç etkilenmemektedir; buna karşıt olarak bir matris sütûnunun tersi alınırsa unun determinantının işaretleri değişir. ${\displaystyle N(\mu ,\Sigma )}$ ile özetlenen dağılım böylelikle ${\displaystyle N(0,I)}$ ifadesinin ${\displaystyle \Lambda ^{1/2}}$ ile ölçeğinin değiştirilmesi, u ile rotasyon yapılması ve ${\displaystyle \mu }$ ile çevrilmesi ile ortaya çıkar.

Bunun aksine bakılırsa, ${\displaystyle \mu }$ ve tam ranklı U matrisi ve pozitif çapraz girdiler olan ${\displaystyle \Lambda _{i}}$ değerleri için yapılan herhangi bir seçim, bir singuler olmayan çokdeğişirli normal dağılım ortaya çıkartır. Eğer herhangi bir ${\displaystyle \Lambda _{i}}$ sıfıra eşitse ve u kare matris ise, bunun sonucunda ortaya çıkan ${\displaystyle U\Lambda U^{T}}$ kovaryans matrisi bir singuler matris olur. Geometrik olarak bunun açıklaması her kontur elipsoitin sonsuz olarak inceleşmesi ve n-boyutlu bir uzayda 0 bir hacim kapsamasıdır, çünkü en aşağı bir tane esas eksenin uzunluğu sıfır olmaktadır.

Genel olarak, rassal değişkenler birirleriyle çok yüksek derecede bağımlı olabilirler ama hiç korelasyon göstermiyebilirler. Ama, eğer bir rassal vektör çokdeğişirli normal dağılım gösterirse,o halde aralarında hiç korelasyon göstermeyen iki veya daha fazla sayıda vektör parçası istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır. Bundan da şu sonuc çıkartılabilir: eğer vektörün herhangi iki veya daha fazla parçası ikişer ikişer bağımsızlık gösteriyorsa, bu parçalar birbirinden bağımsızdırlar.

Fakat ayrı ayrı olarak ve marjinal olarak, iki rassal değişken normal dağılım gösterirlerse ve aralarında hiç korelasyon bulunmazsa, o halde bu iki değişkenler birbirinden bağımsızdır. Normal dağılım gösteren iki rassal değişken, ortaklaşa normal dağılım göstermiyebilirler; yani bir parçası oldukları vektör bir çokdeğişkenli normal dağılım göstermiyebilir.İki korelasyon göstermeyen ama normal dağılım gösteren fakat bağımsız olmayan rassal değişken için örneğin normal dağılım gösterip hiç korelasyon göstermemek bağımsız olmak demek değildir maddesine bakınız.

Genel olarak X için kinci derecede momentler şöyle tanımlanmaktadır:

${\displaystyle \mu _{1,\dots ,N}(X)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{r_{1},\dots ,r_{N}}(X)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ E\left[\prod \limits _{j=1}^{N}X_{j}^{r_{j}}\right]}$

Burada ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{N}=k.}$

Merkezsel ${\displaystyle k}$inci derecede momentler şöyle verilir:

(a)Eger ${\displaystyle k}$ tek ise ${\displaystyle \mu _{1,\dots ,N}(X-\mu )=0}$ olur. (b)Eger ${\displaystyle k}$ cift ise ve ${\displaystyle k=2\lambda }$, o halde

${\displaystyle \mu _{1,\dots ,2\lambda }(X-\mu )=\sum \left(\sigma _{ij}\sigma _{kl}\cdots \sigma _{XZ}\right)}$

Burada toplam ${\displaystyle \left\{1,\dots ,2\lambda \right\}}$ setinin ${\displaystyle \lambda }$ (sıralanmamış) çiftler üzerine tahsis edilmelerinin hepsi birlikte alınmasıdır. Bu işlem sonucunda toplam içinde ${\displaystyle (2\lambda -1)!/(2^{\lambda -1}(\lambda -1)!)}$ sayıda terim bulunur, Her bir terim ${\displaystyle \lambda }$ tane kovaryansın çarpımıdır.

Özellikle, 4-üncü derecedeki momentler şöyle verilirler:

${\displaystyle E\left[X_{i}^{4}\right]=3(\sigma _{ii})^{2}}$

${\displaystyle E\left[X_{i}^{3}X_{j}\right]=3\sigma _{ii}\sigma _{ij}}$

${\displaystyle E\left[X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right]=\sigma _{ii}\sigma _{jj}+2\left(\sigma _{ij}\right)^{2}}$

${\displaystyle E\left[X_{i}^{2}X_{j}X_{k}\right]=\sigma _{ii}\sigma _{jk}+2\sigma _{ij}\sigma _{ik}}$

${\displaystyle E\left[X_{i}X_{j}X_{k}X_{n}\right]=\sigma _{ij}\sigma _{kn}+\sigma _{ik}\sigma _{jn}+\sigma _{in}\sigma _{jk}.}$

Dört değişken halindeki dördüncü derece moment içinde üç tane terim bulunur.

Altıncı-derecede moment içinde (3 × 5 =) 15 terim; sekizinci derecede momentler arasında (3 × 5 × 7) = 105 terim bulunur. Altıncı-derecedeki moment için ifade şöyle genişletilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}E[X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}X_{6}]\\&{}=E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{4}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{5}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{2}]E[X_{3}X_{6}]E[X_{4}X_{5}]\\&{}+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{3}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{4}X_{5}]\\&+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{5}X_{6}]+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{3}X_{6}]+E[X_{1}X_{4}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{3}X_{5}]\\&+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{4}X_{6}]+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{3}X_{6}]+E[X_{1}X_{5}]E[X_{2}X_{6}]E[X_{3}X_{4}]\\&+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{3}]E[X_{4}X_{5}]+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{4}]E[X_{3}X_{5}]+E[X_{1}X_{6}]E[X_{2}X_{5}]E[X_{3}X_{4}].\end{aligned}}}$

Eğer ${\displaystyle \mu }$ ve ${\displaystyle \Sigma }$ şu şekilde kısımlara ayrılırlarsa:

${\displaystyle \mu ={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}\quad }$ Büyüklüğü şu olur; ${\displaystyle {\begin{bmatrix}q\times 1\\(N-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}\quad }$ Büyüklüğü şu olur: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}q\times q&q\times (N-q)\\(N-q)\times q&(N-q)\times (N-q)\end{bmatrix}}}$

Bu halde ${\displaystyle x_{2}=a}$ ifadesiyle koşullu olan ${\displaystyle x_{1}}$ şöyle özetlenen çokdeğişirli normal dağılım gösterir:

${\displaystyle (X_{1}|X_{2}=a)\sim N({\bar {\mu }},{\overline {\Sigma }})}$

Burada

${\displaystyle {\bar {\mu }}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(a-\mu _{2}\right)}$

olur ve covaryans matrisi şöyle verilir:

${\displaystyle {\overline {\Sigma }}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}.}$

Bu matris ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ içinde ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } _{22}}}$ ifadesinin Schur tamamlayıcısı olur.

Bundan dikkati çekmesi gereken şu sonuçlar çıkartılır: ${\displaystyle x_{2}}$ değerinin ${\displaystyle a}$ olduğunu bilmek varyansı değiştirir. Daha şaşırtıcı olarak, ortalama değeri ${\displaystyle \Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(a-\mu _{2}\right)}$ ile kayma gösterir. Eğer ${\displaystyle a}$ bilinmese idi, ${\displaystyle x_{1}}$ nin gösterecegi dağılım ${\displaystyle N_{q}\left(\mu _{1},\Sigma _{11}\right)}$ olurdu.

${\displaystyle \Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}}$ matrisi regresyon katsayıları olarak da bilinirler.

Bir normal dagilim için Fisher'in enformasyon matrisi bir ozel sekil alir. ${\displaystyle X\sim N(\mu (\theta ),\Sigma (\theta ))}$ için Fisher'in enformasyon matrisinin ${\displaystyle (m,n)}$ elemani su olur:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{n}}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right)}$

Burada

• ${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}&\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{m}}}=\left({\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\right)^{\top }={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}}\\\\{\frac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\vdots \\\\{\frac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Sigma _{1,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{1,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{1,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\{\frac {\partial \Sigma _{2,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{2,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{2,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial \Sigma _{N,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{N,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{N,N}}{\partial \theta _{m}}}\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ trace fonksiyonu olur.

${\displaystyle N0_{N}(\mu _{0},\Sigma _{0})}$ den ${\displaystyle N1_{N}(\mu _{1},\Sigma _{1})}$ dağılımına Kullback-Leibler ayrılımı şöyle verilir:

${\displaystyle D_{\text{KL}}(N0\|N1)={1 \over 2}\left(\log _{e}\left({\det \Sigma _{1} \over \det \Sigma _{0}}\right)+\mathrm {tr} \left(\Sigma _{1}^{-1}\Sigma _{0}\right)+\left(\mu _{1}-\mu _{0}\right)^{\top }\Sigma _{1}^{-1}(\mu _{1}-\mu _{0})-N\right).}$

Cokdegisirli normal dagilimin kovaryansinin maksimum olabilirlik kestiriminin elde edilmesi sasirtici sekilde duzenli ve zekice yapilmistir. Kovaryans matrislerin kestirimi maddesine bakin. Bir N-boyutlu cokludegisirli normal dagilimin olasilik yogunluk fonksiyonu soyle verilir:

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-N/2}\det(\Sigma )^{-1/2}\exp \left(-{1 \over 2}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)}$

ve kovaryans matrisinin maksimum olabilirlik kestirimi soylr yazilir:

${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(X_{i}-{\overline {X}})^{T}}$

Bu basit olarak bir n buyuklugunde bir orneklem için orneklem kovaryans matrisidir. Bu bir yanli kestirim olup beklenen degeri

${\displaystyle E[{\widehat {\Sigma }}]={n-1 \over n}\Sigma .}$

Oliur. Bir yansiz orneklem kovaryansi kestirmi sudur:

${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(X_{i}-{\overline {X}})^{T}.}$

Çokdeğişirli normal dağılım için diferansiyel entropi ifadesi şöyle verilir:[4]

${\displaystyle h\left(f\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(N+N\ln \left(2\pi \right)+\ln \left|\Sigma \right|\right)\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln\{(2\pi e)^{N}\left|\Sigma \right|\}}$

Burada ${\displaystyle \left|\Sigma \right|}$ covaryans matrisi olan ${\displaystyle \Sigma }$nın determani olur:

Çokdeğişirli normallik sınamaları bir verilmiş veri seti için bir teorik çokdeğişirli normal dağılıma benzerlik olup olmadığını sınamak için hazırlanmıştır. Bu sınamalarda sıfır hipotez veri setinin çokdeğişirli normal dağılıma benzerlik gösterdiğidir. Eğer sınama ile bulunan p-değeri yeter derece küçük ise (yani genellikle 0,05 veya 0,01den daha küçük ise), sıfır hipotez rededilir ve verinin çokludeğişirli normal dağılım göstermediği kabul edilir. Bu çokludeğişirli normallik sınamaları arasında popüler olan Cox-Small sınamasıdır: [5]. Smith ve Jain'in Friedman-Rafsky testini adaptasyonu için şu referansa bakın: [6]

${\displaystyle \mu }$ ortalama vektörü ve (simetrik ve pozitif kesin olması gereken) kovaryans matrisi ${\displaystyle \Sigma }$ olan bir ${\displaystyle N}$-boyutlu çokdeğişirli normal dağılımdan bir rastgele vektör ${\displaystyle X}$ çekmek için çok kullanılan bir yöntem şöyle uygulanır:

1. ${\displaystyle \Sigma }$ için (matris kare kökü olan) Çoleski dekompozisyonu hesap edilir. Yani ${\displaystyle A\,A^{T}=\Sigma }$ koşuluna uyan tek bir alt ucgensel matris olan ${\displaystyle A}$ bulunur.
2. Örneğin Box-Müller dönüşümü ile üretilip elde edilebilen ${\displaystyle N}$ tane biribirine bağımsiz normal dağılım gösteren değişebilir parçalarından olusan bir vektör ${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{N})^{T}}$ bulunur.
3. ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu +AZ}$ ifadesine eşit olarak bulunur.