Gumbel dağılımı

Gumbel dağılımının birikimli dağılım fonksiyonudur

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,}$

mode μ'dür , ileki ortalama ${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$ dır ve ortalama ile verilir

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta ,}$

burada ${\displaystyle \gamma }$ = Euler–Mascheroni sabiti ${\displaystyle \approx 0.5772.}$ standard sapma ${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}.}$ dır

Standard Gumbel dağılımı durumu ${\displaystyle \mu =0}$ ve ${\displaystyle \beta =1}$ ile birikmeli dağılım fonksiyonu

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

Bu durumun modu 0 dır,medyan ${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$ dır ortalama ${\displaystyle \gamma }$dır ve standard sapma ${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$dır

Since the kuantile fonksiyon(ters birikimli dağılım fonksiyonu), ${\displaystyle Q(p)}$, of bir Gumbel dağılımı ile veriliyor

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

değişken ${\displaystyle Q(U)}$ has bir Gumbel dağılımı ile ${\displaystyle \mu }$ parametreleri var ve ${\displaystyle \beta }$ ise random değişken ${\displaystyle U}$ aralığı ${\displaystyle (0,1)}$ üzerine tektip dağılımdan çekilmiştir.

Gumbel dağılımını grafik kâğıt parçası içermektedir.

Eğer X has bir Gumbel dağılımı, ise Y=-Xnin durumsal dağılımı verilen bu Y için pozitiftir, veya verilen bu eşdeğeri X negatiftir,bir Gompertz dağılımı var.Y nin cdf G Fye ilişiktir, Xın cdf'i, y>0 için ${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ ile formüleedir.Sonuç olarak yoğunlukları ${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: Gompertz yoğunluğu ile ilişkilidir.Gumbel yoğunluğu bir yansımaya orantılıdır,pozitif yarı-eksenle sınırlıdır.[3]

geneleştirilmiş çokdeğişkenli log-gamma dağılımına ilişik teori Gumbel dağılımının birçok değişkenli versiyonunu sağlar.

Ön yazılım zamanlarında grafik kâğıt Gumbel dağılımının resmi kullanılmıştır (resme bakınız). Kağıt kümülatif dağılım fonksiyonunu doğrusallaştırmaya dayanır ${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]=(x-\mu )/\beta }$

Kağıt yatay eksende bir ikikez log ölçekte inşa edilmiştir.Dikey eksen doğrusaldır.Kağıdın yatay ekseni üzerinde ${\displaystyle F}$ çizilerek ve ${\displaystyle x}$-değişken dik eksen üzerinde,dağılım is bir eğim ile, düz bir çizgi tarafından temsil edilen 1${\displaystyle /\beta }$.dağılım uyarlama yazılımı CumFreq gibi kullanılmaya başladığında,aşağıdaki bölümde gösterildiği gibi dağılım çizme görevi, kolay yapılmıştır.

maksimum tek-günlük ekim yağışlarına uyarlanan dağılım ile bir birikimli Gumbel dağılımının güven bandı.

Gumbel gösterdiki (veya son istatistik listesi) bir random değişkenin bir örneği içinde maksimum değer aşağıda bir üstel dağılım Gumbel dağılımının yaklaşıklığı artan örneklem büyüklüğü ile yakındır.[4]

Su biliminde, bu nedenle, Gumbel dağılımı günlük yağış ve nehir boşaltma hacimlerinin aylık ve yıllık maksimum değerleri gibi değişkenleri analiz etmek ve ayrıca [5] kuraklık tanımlamak için kullanlılır.[6]

Gumbel ayrıca gösterdiki bu tahminci r / (n+1) bir olayın olasılığı için - burada r veri serisi içinde gözlenen değerin rank numarası ve n gözlemcinin toplam sayısıdır- dağılımın modu çevresinde birikimli olasılık bir yansız tahminidir. Bunun için tahminci,bir çizim pozisyonu olarak sıklıkla kullanılıyor

Sıralanmış maksimum bir günlük ekim yağışlarına Mavi resimde gösterilen Gumbel dağılımının bir uyarlama örneği ayrıca binomial dağılım üzerinde 90% güven bandına dayanıyor. Birikimli frekans analizinin.bir parçası olarak çizim pozisyonu r / (n+1) tarafından gözlemlenen düşen yağış verisidir

sayı teorisinde,bir bir tamsayının kısımları içindeki terimlerin yaklaşık Gumbel dağılımı[7]asal takımyıldızları arasındaki kayıtlı boşluklar ve kayıtlı asal boşlukların hem de eğilimin düzeltilmiş boyutlarıdır .[8]

• Tip-1 Gumbel dağılımı
• Tip-2 Gumbel dağılımı
• Uç değer teorisi
• Geneleştirilmiş uç değer dağılımı
• Fisher–Tippett–Gnedenko teoremi

• Wikimedia Commons'ta Gumbel dağılımı ile ilgili çoklu ortam kategorisi bulunur.