Tetrasyon

Lineer yaklaşımı (süreklilik isteğinin çözümüe, differensiyellenebilirlik yaklaşımı) şöyle elde edilir:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{(x+1)}a)&x\leq -1{\mbox{ için}}\\1+x&-1<x\leq 0{\mbox{ için}}\\a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}&x>0{\mbox{ için}}\end{cases}}}$

Bundan dolayı:

Yaklaşım	Tanım kümesi
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx x+1}$	${\displaystyle -1<x<0}$ için
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{x}}$	${\displaystyle 0<x<1}$ için
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	${\displaystyle 1<x<2}$ için

ve böylece devam eder.

Örnekler: ${\displaystyle \,{}^{(\pi /2)}e\approx 5{,}868\dots ,\;{}^{-4,3}0{,}5\approx 4{,}03335\dots ,\;}$

Ana teorem Hooshmand'e göre: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$'dir. Eğer ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$, istenmeyen durumlara doğru giderse:

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\mbox{ tüm}}\;\;x>-1{\mbox{ ve}}\;f(0)=1{\mbox{ için}},}$
• ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle (-1,0)}$'de türevlenebilir,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$ fonksiyonu, ${\displaystyle (-1,0)}$'da azalmayan veya artmayan bir fonksiyondur,
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\mbox{ veya }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-}).}$

Daha sonra ${\displaystyle f}$, şu denklemle benzersiz tanımlanır:

${\displaystyle \;\;\;f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{(x)})=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\;\;\;{\mbox{tüm}}\;\;x>-2{\mbox{ için }}.}$

Buradaki ${\displaystyle (x)=x-[x]}$, x in kısmi parçasını ifade eder ve ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ fonksiyonu, ${\displaystyle \exp _{a}}$ fonksiyonunun ${\displaystyle [x]}$-tekrarlı fonksiyonudur.

İkinci ve dördüncü şartlar ispattır.

${\displaystyle {}^{x}e}$ doğal tetrasyon fonksiyonundaki lineer yaklaşımı sürekli olarak türevlenebilir. Fakat ikinci türevi, argümanının tam sayısında bulunmaz. Hooshmand, onun için de söyle bir eşsiz teorem türetti:

Eğer ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ ise, sürekli fonksiyon şöyledir:

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\mbox{tüm}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$ için,
• ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle (-1,0)}$'de yakınsar,
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}$

Sonra ${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$ olur.

Buradaki ispat bir öncekine çok benzer. Özyineleme eşitliği, ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ olduğunu sağlar ve yakınsaklık şartı (-1, 0)'de ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun lineer olduğunu ifade eder.

Bundan dolayı doğal tetrasyondaki lineer yaklaşımı, sadece ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ eşitliğinin çözümüdür ve ${\displaystyle f(0)=1}$, ${\displaystyle (-1,+\infty )}$'de yakınsaktır. Diğer tüm uygun türevlenebilir çözümlerin (-1, 0) aralığında bir büküm noktası olması gerekir.

İkinci dereceden yaklaşım şöyledir:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{(x+1)}a)&x\leq -1{\mbox{ için }}\\1+{\frac {2\log(a)}{1+\log(a)}}x-{\frac {1-\log(a)}{1+\log(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0{\mbox{ için }}\\a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}&x>0{\mbox{ için }}\end{cases}}}$

Bu ifade tüm ${\displaystyle x>0}$ için türevlenebilir. Faka iki kez türevlenemez. Eğer ${\displaystyle a=e}$ ise bu, lineer yaklaşım gibidir.

${\displaystyle 0^{0}}$ üs ifadesi sürekli olarak tanımlanmaz. ${\displaystyle \,{^{n}0}}$ tetrasyonu da, daha önceki formüle göre iyi tanımlanmaz. Yine de ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ şöyle tanımlanabilir:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\mbox{ çift}}\\0,&n{\mbox{ tek}}\end{cases}}}$

Buradan ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ ifadesini sürekli tanımlayabiliriz. Bu ${\displaystyle 0^{0}=1}$ tanımının eşdeğeridir.

Bu genişleme altında, ${\displaystyle {}^{0}0=1}$. Böylece asıl tanım koruyarak ${\displaystyle {^{0}a}=1}$ kuralı sağlanır.

Periyoda göre tetrasyon

Sızıntıya göre tetrasyon

Karmaşık sayılar kuvvetlerle arttarken, tetrasyon, ${\displaystyle z=a+bi}$ formunun tabanlarında uygulanabilir. Buradaki ${\displaystyle i}$, -1'in kareköküdür. Örneğin, ${\displaystyle {}^{n}z}$ (${\displaystyle z=i}$) tetrasyonu, doğal logaritma prensibi kullanılarak ifade edilebilir. Euler formülünü kullanarak şöyle bir ilişki elde edebiliriz:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{i\pi \over 2}(a+bi)}=e^{-{b\pi \over 2}}\left(\cos {a\pi \over 2}+i\sin {a\pi \over 2}\right)}$

Bu, ${\displaystyle {}^{(n+1)}i=a'+b'i}$ için tekrarlı bir tanım ortaya çıkartır. Her ${\displaystyle {}^{n}i=a+bi}$ için:

${\displaystyle a'=e^{-{b\pi \over 2}}\cos {a\pi \over 2}}$

${\displaystyle b'=e^{-{b\pi \over 2}}\sin {a\pi \over 2}}$

Aşağıdaki yaklaşım değerleri türetilebilir:

${\displaystyle {}^{n}i}$	Yaklaşım Değeri
${\displaystyle {}^{1}i=i}$	i
${\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}2079}$
${\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}9472+0{,}3208i}$
${\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}0501+0{,}6021i}$
${\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}3872+0{,}0305i}$
${\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}7823+0{,}5446i}$
${\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}1426+0{,}4005i}$
${\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}5198+0{,}1184i}$
${\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	${\displaystyle 0{,}5686+0{,}6051i}$

Önceki bölümle ters ilişkiyi çözme, n nin negatif değerli beklenen ${\displaystyle \,{}^{0}i=1}$ ve ${\displaystyle \,{}^{(-1)}i=0}$'ı sağlar. Bunun için sanal eksene sonsuz sonuç verilir.

Tetrasyon sonsuz yüksekliklere genişletilebilir (${\displaystyle {}^{n}a}$'deki n). Örneğin, ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ ifadesi 2'ye yakınsar, bundan dolayı "2'ye eşittir" denir. 2'ye doğru gidiş, küçük sonlu kuleyi hesaplayarak görülebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1,41}}}}}&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1,63}}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1,76}}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1,84}}\\&={\sqrt {2}}^{1,89}=1{,}93\end{aligned}}}$

Genellikle ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ sonsuz kuvvet kulesi, ${\displaystyle {}^{n}x}$'in limiti (sınırı) olarak tanımlanır. Burada n e^−e ≤ x ≤ e^1/e için sonsuzluğa gider.

Asıl kuralı korumak için:

${\displaystyle {^{(k+1)}a}=a^{({^{k}a})}}$

${\displaystyle k}$'nın negatif değerleri için, özyineleme ilişkisini kullanmalıyız:

${\displaystyle {^{k}a}=\log _{a}\left({^{(k+1)}a}\right)}$

Buradan:

${\displaystyle {}^{(-1)}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$

Bununla beraber daha küçük negatif değerler, bu yolla iyi tanım verme. Çünkü,

${\displaystyle {}^{(-2)}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}$

iyi tanımlı değildir.

${\displaystyle \,\!{^{(-1)}1}}$'in her tanımı ${\displaystyle n=1}$ için kuralla uyumlu olduğuna dikkat edin. Çünkü

her ${\displaystyle \,\!n={^{(-1)}1}}$ için, ${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$'dir.

Burada, genişleme tetrasyonunun genel problemlerinin çözümü için ${\displaystyle n}$'nin reel veya karmaşık değerlerinde, yaygın olarak kullanılan kabul edilmiş bir çözüm yoktur. Çeşitli yaklaşımlar aşağıdaki gösteriliyor.

Genelde problem, a > 0 ve, ${\displaystyle x>-2}$ değerleri için ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$ gibi bir süper üstel fonksiyon bulunuyor ki bu da yeterince tatminkârdır.

• ${\displaystyle \,{}^{(-1)}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}}$ tüm reel x > -1 için.
• Dördüncü koşul genellikle şunlardan biridir:

• Bir süreklilik koşulu (genellikle sadece ${\displaystyle {}^{x}a}$, her iki değişken için ${\displaystyle x>0}$ şartılya süreklidir).
• Bir türevlenebilirlik koşulu (x 'de bir kez, iki kez, k kez veya sonsuz kez türevlenebilir).
• Bir uygunluk şartı (x 'de iki kez türevlenebilirliği ifade eder) şöyledir:

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$ tüm ${\displaystyle x>0}$ için

Dördüncü koşul kişiden kişiye ve yaklaşımlara göre değişirr. Tetrasyonunu gerçel yüksekliklere genişletmek için iki ana yaklaşım vardır. Birincisi uygunluk koşulu, diğeri de türevlenebilirlik koşuludur. Bu iki yaklaşım, birbirleriyle tutarsız sonuçlar üretmesi, onların çok farklı olduğunu gösterdi.

Neyse ki, bir uzunluğun içindekilerden biri, tüm pozitif reel sayılar için genişletilebilir. Bir içsel uzunluk için ${\displaystyle \,{}^{x}a}$ tanımlıysa, tam fonksiyon tüm ${\displaystyle x>-2}$ için geçerlidir.

${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$ tetrasyonunun karmaşık düzlemde analitik genişlemesinin çizimi. ${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$ ve ${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ dereceleri kalın eğimlerle gösteriliyor.

Şöyle bir konjektür[1] vardır: F(z+1)=exp(F(z)) eşitliğinin çözümü için eşsiz bir F fonksiyonu vardır ve ek F(0)=1 ve F(z) yaklaşımlarını sağlar. Bu fonksiyon sağdaki şekilde görülüyor.

Süper kök, tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper kök ve süper logaritma. Süper kök, tetrasyonun tabanını ifade eden ters fonksiyonudur: eğer ${\displaystyle ^{n}y=x}$ ise y de x in n. süper kökü olur. Örneğin;

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65.536}$

böylece 2, 65.536'nın 4. köküdür ve

${\displaystyle ^{3}3=3^{3^{3}}=7.625.597.484.987}$ olur.

Böylece 3, 7.625.597.484.987'nin 3. süper kökü (veya süper küpü)dür.

Süper kökün birkaç pratik uygulaması vardır. Bunlar sadece saf matematikte çalışılır.

2. sıra süper kök veya "süper kare kök" is noteworthy for its simple expression in terms of Lambert W fonksiyonunda terimlerinin basit ifadesi için önemlidir. İfadesi;

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln {x})}}$ buradaki ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$, ${\displaystyle x}$'in süper kare köküdür.

Fonksiyon her ne kadar süper karenin karşıtı olarak tanımlanmış olsa bile, sonsuz üstelin de karşıtıdır. Sonsuz n.kökte şöyledir;

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}={\sqrt[{\sqrt[{\sqrt[{\sqrt[{...}]{x}}]{x}}]{x}}]{x}}.}$

Aşağıdaki tablo ilk 27 tam sayının süper kare köklerini gösteriyor.

${\displaystyle {x}}$	${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$	${\displaystyle {x}}$	${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$	${\displaystyle {x}}$	${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$
1	1	10	2,506184...	19	2,830223...
2	1,559610...	11	2,555604...	20	2,855308...
3	1,825455...	12	2,600295...	21	2,879069...
4	2	13	2,641061...	22	2,901637...
5	2,129372...	14	2,678523...	23	2,923122...
6	2,231828...	15	2,713163...	24	2,943621...
7	2,316454...	16	2,745368...	25	2,963219...
8	2,388423...	17	2,775449...	26	2,981990...
9	2,450953...	18	2,803663...	27	3

Eğer bir sayının süper kare kökü tam sayı değilse, o irrasyoneldir. Fakat bununla ilgili herhangi bir ispat bilinmiyor.

Diğer süper kökler, normal kökle kullanılan aynı tabanda ifade edilebilir: süper küp kökler, ${\displaystyle x=y^{y^{y}}}$ olduğunda y üreten fonksiyon, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ olarak ifade edilebilir. 4. süper kök, ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$ olarak ifade edilebilir ve bundan dolayı, n^. süper kök, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$'dir denilebilir.

Tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper logaritma ve süper kök. Süper logaritmayı açıklayan birkaç yol vardır:

• Üstel fonksiyonların Abel fonksiyonu olarak,
• Tetrasyonun yüksekliğini ifade eden ters fonksiyonu olarak,
• Logaritmanın 1'e gitmesi için kaç kez tekrarlanması gerektiğinin sayısı,
• As a generalization of Robert Munafo's large number class system16 Mayıs 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.,
• Biçimsel fonksiyonun bir sınırsız sürümü olarak.

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{b}(z)}$ olarak yazılan süper logaritma, tam olarak şöyle tanımlanır;

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{b}(b^{z})=\mathrm {slog} _{b}(z)+1}$ ve

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{b}(1)=0.}$

Bu tanımın sadece tam sayılar verebileceğine ve sadece tam sayı üretebilecek sayıları kabul edebileceğine dikkat edin. Bu tanımın kabul edeceği sayılar ${\displaystyle b,b^{b},b^{b^{b}}}$ vb. formdadır.

Genellikle özel fonksiyonlar, argüman(lar)ın reel değerleri için değil, karmaşık düzlem, diferansiyel ve integral ifadeleri içinde tanımlanır. Slag fonksiyonu için mevcut ifadeler olmadığı için, basit yaklaşımlar şöyle öneriliyor.

Süper logaritmaya lineer yaklaşım şöyledir:

${\displaystyle \mathrm {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\mathrm {slog} _{b}(b^{z})-1&z\leq 0{\mbox{için }}\\-1+z&0<z\leq 1{\mbox{için }}\\\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&1<z{\mbox{için }}\\\end{cases}}}$

Bu fonksiyon, tüm reel z (${\displaystyle C^{0}}$ süreklilik) için süreklidir.

Süper logaritmaya ikinci dereceden yaklaşım şöyledir:

${\displaystyle \mathrm {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\mathrm {slog} _{b}(b^{z})-1&z\leq 0{\mbox{için }}\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log(b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&0<z\leq 1{\mbox{için }}\\\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&1<z{\mbox{için }}\end{cases}}}$

Bu fonksiyon tüm reel z (${\displaystyle C^{1}}$ süreklilik) için türevlenebilir.

Abel fonksiyonu, şu eşitliği sağlayan herhangi bir fonksiyondur:

${\displaystyle \,A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1}$

Verilen bir ${\displaystyle A_{f}(x)}$ Abel fonksiyonunun diğer çözümü herhangi sabit ${\displaystyle A'_{f}(x)=A_{f}(x)+c}$ eklenerek elde edilebilir. Verilen bu süper logaritma ${\displaystyle \mathrm {slog} _{b}(1)=0}$ olarak tanımlanır ve üçüncü özelliği üstel fonksiyonun Abel fonksiyonu, eşsiz olarak tanımlanabilmesidir.

Süper logaritmanın diğer eşitlikleri:

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{b}(z)=\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1}$

${\displaystyle \,\mathrm {slog} _{b}(z)>-2}$ tüm reel z için

Karmaşık z düzlemindeki ${\displaystyle f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)}$ fonksiyonu.

Tetrasyon olarak ${\displaystyle ~{\rm {sexp}}_{b}(z)~}$, analitik fonksiyon olması husunuda şüphelidir. En azından ${\displaystyle ~b~}$'nin bazı değerleri için slog_b=sexp_b⁻¹ ters fonksiyonu analitik olabilir. Karmaşık z düzlemindeki ${\displaystyle ~{\rm {slog}}_{b}(z)~}$'nin davranışı, yukarıdaki şekilde, ${\displaystyle ~b=e~}$ durumu için çizilmiştir. slog fonksiyonunun sanal kısmının reel ve tam sayı değerlerinin dereceleri kalın çizgilerle gösteriliyor.