Steinhaus-Moser gösterimi

Üçgenin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı ${\displaystyle n}$^{${\displaystyle n}$} anlamına gelir.

Karenin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı "tümü iç içe olan ${\displaystyle n}$ tane üçgenlerin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı" ile eşdeğerdir."

Çokgendeki ${\displaystyle n}$ sayısı "tümü iç içe olan ${\displaystyle n}$ tane karelerin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı" ile eşdeğerdir.

örn.: (${\displaystyle m+1}$) kenarlı çokgendeki ${\displaystyle n}$ yazısı, "tümü iç içe olan ${\displaystyle m}$ kenarlı ${\displaystyle n}$ tane çokgenin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı" ile eşdeğerdir. İç içe seriye sahip çokgenler, içeriye doğru birleştirilirler. İki üçgenin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı, ${\displaystyle n}$^{${\displaystyle n}$} sayısının kuvvetine yükselen ${\displaystyle n}$^{${\displaystyle n}$} ile eşdeğer olan bir üçgen içindeki ${\displaystyle n}$^{${\displaystyle n}$} ile eşdeğerdir.

Steinhaus sadece, üçgen, kare ve yukarıda açıklanan çokgenin eşdeğeri olan çemberini tanımladı.

Steinhaus şunları açıkladı:

• mega, bir çemberdeki 2'ye eşdeğerdir: ②
• megiston, bir çemberdeki 10'a eşittir: ⑩

Moser sayısı, "mega" kenarlı bir çokgen olan "megaton'daki 2" olarak ifade edilir.

Alternatif gösterimler:

• kare(x) ve üçgen(x) fonksiyonlarını kullanma
• ${\displaystyle M(n,m,p}$ sayısı, ${\displaystyle p}$ kenarlı ${\displaystyle m}$ tane çokgenin içindeki ${\displaystyle n}$ sayısı olarak ifade edildiğinde kurallar şöyle olur:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$

ve

• • mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • moser = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Bir mega (yani ②), zaten çok büyük bir sayıdır. ② = kare(kare(2)) = kare(üçgen(üçgen(2))) = kare(üçgen(2²)) = kare(üçgen(4)) = kare(4⁴) = kare(256) = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256)...))) [256 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256²⁵⁶)...))) [255 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(3,2 × 10⁶¹⁶)...))) [255 üçgen] = ...

Diğer gösterimi kullanma:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ fonksiyonu ile mega = ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$ elde ederiz. Buradaki üstindis fonksiyonel kuvveti ifade eder, sayısal kuvveti değil.

Şunları elde ederiz (kuvvetlerin sağdan sola doğru değerlendirildiğine dikkat edin):

• M(256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• M(256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

Benzer şekilde:

• M(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

vb.

Buradan:

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$. Buradaki ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$, ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$ fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder.

Knuth yukarı ok gösterimini kullanıp, çok kabaca yuvarlayarak (256'nın sonuna 257 koyarak) mega ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$ olarak bulunur.

Birkaç adımdan sonra ${\displaystyle n^{n}}$ değeri, her zaman yaklaşık olarak ${\displaystyle 256^{n}}$'e eşittir. aslında yaklaşık olarak ${\displaystyle 10^{n}}$'e bile eşit olabilir (Ayrıca çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiğine bakınız). 10 tabanlı kuvveti kullanırsak şunu elde ederiz:

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ (${\displaystyle \log _{10}616}$, 616'ya eklenir)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ (${\displaystyle 619}$, ihmal edilebilir değer olan ${\displaystyle 1,99\times 10^{619}}$'a eklenir. Böylece en alta sadece 10 eklenir)
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1,99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1,99\times 10^{619}}$. Buradaki ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$, ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder. Bundan dolayı ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\mbox{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Conway dizisi ok gösteriminde şöyle kanıtlanmıştır,

${\displaystyle moser\ <\ 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2}$,

ve Knuth yukarı ok gösteriminde,

${\displaystyle moser\ <\ f(f(f(4))),\quad {\mbox{where}}\ \ f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Bu yüzden, akıl almaz büyük olmasına rağmen Moser sayısı, Graham sayısı ile kıyaslandığında çöldeki kum tanesi (veya oksayustaki bir damla su) gibidir, şöyle ki:

${\displaystyle moser\ <<\ 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2\ <\ f^{64}(4)\ =\ Graham's\ number.}$

• Ackermann işlevi

• Robert Munafo'nun Büyük Sayıları16 Mayıs 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)
• mathworld.wolfram.com sitesindeki megistron 4 Ekim 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)
• mathworld.wolfram.com sitesindeki çember gösterimi 4 Ağustos 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce)