Benford'un savı

Daha kesin olarak, Benford'un savı, başlangıç tam-sayısı olan '(eğer b≥ 2 ise) b bazında d sayısının (yani d ∈ {1, …, b − 1} ) ortaya çıkmasının

log_b(d + 1) − log_bd = log_b((d + 1)/d)

değerine orantılı bir olasılıkla olduğunu ileri sürmektedir.

Eğer d ilk tam-sayı ve p ise olasılık ise, 10 bazı ile verilen veri ilk rakamların dağılımı, Benford'un savına göre şöyle olacaktır:

Buna dayanılarak ilk iki tam sayı hakkında şöyle bir kural ortaya atılabilir: Her veri için ilk iki rakam ihtiva eden blokun meydan çıkma olasılığı 'n ye eşittir ve n = 10, …, 99

log₁₀₀(n + 1) − log₁₀₀(n)

olur. İlk sıfır içermeyen üç rakamdan oluşan blokların ve daha uzun olan blokların olasılıkları da benzer şekilde ortaya çıkartılabilir. (Gerçekten, b bazında p tane ilk rakam Benford'un savı sonucu b^p bazında olan birinci ilk rakamlar Benford'savının sonucunu hemen takip ederler.)

Bu savın neyi açıkladığı şöyle de anlatılabilir: Herhangi bir rakam 10'un bir üssü ve bir m (eğer 1≤m<10) değerde bir mantis (mantissa) ile çarpımı olarak yazılabilir. Benford'un savı doğru ise verinin mantislerinin dağılımı bir 1/x dağılımı gösterecektir. Birçok kişi bu prensipin sonucu olarak eldeki (normalize edilmeyen) veri rakamların dağılımın da aynı dağılımı göstermesi gerektiğine yanlış olarak inanmaktadırlar. Benford'un savı yalnızca mantis dağılımının (1'den 10'a sınırlanmış olarak) Benford savına göre dağılmasına ilişkilidir.

Bu dağılımın ortaya çıkmasının sürpriz yaratmaması gereği [5] verilerin logaritmalarının geçerlilik alanlarına bakışla açıklanabilir. Orijinal veri dağılımının bir mantis dağılımına indirgenmesi verimizin logaritma değerinin kesirsel tarafının dağılımının incelenmesine dönüştürülmüştür. Bu dağılımın genişliği 0 ile 1 arasıdır. Herhangi bir dağılımı bu türlü değiştirmenin sonucunda verinin kesirsel tarafının yaklaşık olarak bir tekdüze dağılım ortaya çıkaracağı kolayca görülebilir. (Çünkü dağılımın kuyruğunun eğimleri 0-1 arasında eğim değerlerine dönüştürülmekte ve alttaki ve üstteki kuyruktaki eğimler birbirini elimine etmektedirler.) Logaritma değerinin kesirsel tarafının yaklaşık tekdüze dağılımı göstermesi doğrudan doğruya orijinal verilerin yaklaşık 1/x dağılımı göstermesinin karşılığıdır. Bu doğal olarak, verilerin 1 ile 10 arasında bulunması olabilirliğinin 1000 ile 10000 arasında olmasından daha büyük olmasına bakmadan uygulanabilir.

Bu savın açıklaması, eğer ilk tam sayıların belirli bir dağılımı gerçekte bulunursa bu dağılımın ölçme birimlerinden bağımsız olması gerekliliğine dayandırılır. Örneğin, eğer uzunluk ölçülerimizi santimetreden milimetreye çevirirsek (yani bir sabit 1/10 ile çarpım işlemi uygulanırsa), dağılımın değişmemesi gerekir - yani dağılım ölçekle değişmez. Bu gerçeğe uyan tek istatistik dağılım logaritması tekdüze olan dağılımdır.

Fiziksel sabitler listesinde bulunan ilk tam sayıların frekansının Benford'un savı dağılımına karşı aynı grafikte gösterilmesi.

Örneğin, herhangi iki nesne arasındaki uzaklığın sıfır olmayan ilk tam sayısı için dağılım, bunun santimetre, milimetre, hatta inç veya yarda biriminde/ölçeğinde olmasına bakmadan, aynı şeklini koruyacaktır. Yani eğer ilk tam sayılar için belirlenen bir dağılım varsa, o dağılım verinin ne ölçekte olduğuna hiç dayanmadan uygulanabilecektir.

Daha matematiksel deyimle, X bir rassal değişken ise ve bu değişken olasılığı herhangi bir pozitif tam sayı olan x'e eşit olması (eğer s>1 ise) s^−s değerine oranlıdır; yani

${\displaystyle P(X=x)\propto x^{-s}\qquad s>1}$.

Bu oran için sabit 1/ζ(s) olur ve burada ζ Riemann zeta fonksiyonu olur (bakın zeta dağılımı). X içindeki ilk tam sayının n olmasının olasılığı, s değeri 1'e yaklaştıkça

log₁₀(n + 1) − log₁₀(n)

ifadesine yaklaşır.

Benford'un savının şeklinin çok daha kesinlikle açıklanması eğer sayıların "logaritma" değerlerinin ayrık tekdüze dağılım gösterdiği varsayımının gerçekte doğruluğu ile mümkün olabilir. Bu demektir ki bir sayının 100 ile 1000 arasında (yani logaritma ile 2 ile 3 arasında) olması, 10,000 ile 100,000 (logaritma ile 4 ile 5 arası) olması ile aynı olasılıktadır. Birçok veri sayılar, özellikle gelirler, hisse senedi fiyatları, diğer borsa fiyatları gibi üstel büyüme gösteren değişkenler için bu pratik gerçeklere uygun bir varsayım olacaktır.

Bunun nasıl ortaya çıktığı için bir basit örnek verilebilir. Bir nesne miktarının üstel bir oranda büyüme göstermesi demek bu artış haddinin bir sabit olduğunu kabul etmektir. Eğer miktarın iki misline büyümesi bir yıl gerektiriyorsa, gelecek yıl da tekrar iki misli büyüme gösterecek demektir ve bu şekilde 3. yılda da ve diğer yıllarda iki kat artma devam edip duracağı varsayılıdır. Düşünelim; her yıl iki misli artış gösteren bir nesneyi ölçmek için başlama anının sayının 100'e geldiği zaman olduğunu kabul edelim. Bütün birinci yıl sayısının ilk rakamı 1 olacaktır. İkinci yıl için ilk rakam ancak ilk yedi ay için 2 olacaktır ve diğer beş ay 3 olacaktır. Üçüncü yılda ise sayının ilk rakamı 4, 5, 6 ve 7'yi aşacak ve takip eden rakamlardan daha çok uzaklaşmaya başlayacaktır. Dördüncü yılın hemen başlarında ilk rakam 8 ve 9 değerlerini geçecektir ve miktarın değeri 1000'i aştığı zaman bu süreç yeniden başlayacaktır.

Bu örnekten kolayca görülmektedir ki eğer miktar değeri bir yıl içinde rassal zamanlarda örnek alıp ölçülürse, örnek ölçülmesinde bulunan en olabilir ilk rakam değeri 1 olacaktır. Bunu takip eden ölçmelerde değer için daha büyük ilk rakamlar bulunması, değerin daha yüksek ilk rakamlara geçiş göstermesi dolayısıyla, çok daha az olabilirlilikte bulunacaktır.

Buna göre üstel olarak büyüme gösteren miktarların ölçülmesi sonucu ele geçirilen tabloların Benford'un savı kurallarına uymaları çok imkân dahilindedir. Ancak şunu da hatırlamalıdır ki birçok halde üstel büyüme şekli göstermeyen sayılar için bile Benford'un savı uygulanabilir.

Şuna dikkatin çekilmesi gerekir ki eğer eldeki sayılar çok değişik çeşitli dağılımlardan ortaya çıkartılmışlarsa, örneğin zeka testi sonuçları, kişilerin boyları gibi değişik normal dağılım gösteren değişkenlerse, bu sav geçerli olmayacaktır. Fakat, bu rakamlar ana kaynaktan değil diğer sayılarda karışık diğer bir kaynaktan elde edilmişlerse (örneğin anket sonuçlarını 'karışık' olarak veren bir makaleden) Benford'un savı tekrar geçerli olmaya başlayacaktır. Hill [1998] matematikle ispat etmiştir ki eğer bir araştırmacı "rassal" olarak bir sıra olasılık dağılımı seçerse ve sonra da seçtiği dağılıma uyan bir sayı seçerse, sonuç olarak ortaya çıkan sayılar için Benford'un savı uygulanabilir.

1972'de Hal Varian hazırladığı bir yazıda bu savın bir ülke çapında planlama projesi için sunulan sosyo-ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlık yapılıp yapılmadığı hakkında incelemeye baz olabileceğini iddia etmiştir.[6] Bu açıklamaya göre uydurma istatistik yaratıcılarının kullandıkları tek sayılar bir tekdüze dağılıma yaklaşık olacaktır. Böylece kullanılan verilerin ilk rakamının frekans dağılımı ile Benford'un savına göre çıkartılan beklenen bir dağılımı karşılaştırılması herhangi bir uyuşmazlık gösteren veriyi ortaya çıkaracaktır. Sonuç olarak bu uyuşmazlık gösteren verinin uydurma olabileceği çok mümkün görülecektir; fakat bu istatisksel sonuç zayıf bir delil olduğu için mümkün hilebazlığın ispat edilmesi için daha ince ve detaylı inceleme gerekecektir.

Bu görüş benzeri bir çalışma J.Nye ve C.Moul (2007) tarafından uluslararası makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapılmıştır.[7] Bu çalışmada Dünya Bankası tarafından toplanan uluslararası gayrisafi millî hasıla istatistikleri incelenmiş ve çok büyük bir kısmının bu sava uygun olduğu görülmüştür. Ancak küçük bir sayıda ülkeler için, genellikle gelişmekte olan ülkeler için, gayrisafi milli hasıla istatistiklerinin bu sava uymadığı ortaya çıkmıştır. Bu sonuç asıl orijinal sayıların bürokratik ve politik karışım ile değiştirildiğine bir inanılabilir gösterge olduğu iddiasını ortaya çıkartmıştır.

Son zamanlarda Benford'un savının bu türde araştırma için diğer pratik kullanış alanları olacağı anlaşılmıştır. Bunlar arasında büyük firmaların fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadıklarını savunmak için sundukları fiyat listeleri, yıllık ve diğer periyodik muhasebe hesapları sunuları, vergiden düşülebilen masraflar için sunulan veriler, hasar sigortası talepleri, yeni ilaçlar için kliniksel denemeler, seçim masraflari bildirileri,[8] milli seçim sonucları gibi konularda incelemelerin yapılması mümkün görülmektedir ve hatta bu konu türünde bazı pratik araştırmalarin sonuçları bilimsel eser olarak yayınlanmıştır.[9]

Ancak, bu tür uygulamaların sonuçlarını incelemek dikkat gerektirmektedir. Bir grup pratik gerçek hayat örneği bu sava uygunluk göstermeyebilir; çünkü kullanılan veri kategorisinin içindeki sayıların dağılımı rassal olarak dağılımın çarpık kuyruğunda bulunmuş olabilirler.

Benford'un savının açıkladığı gerçeğin keşfedilmesi 1881'e kadar geri gider. O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesapları yaparken kullandığı logaritma cetvellerini ihtiva eden kitapların başlangıcındaki sayfaların sonraki sayfalardan daha çok kullanılması dolayısı ile zarar gördüğünü gözlemlenmiştir. Bu çok kullanma belirtileri sırf sayfaların çok kullanılması şeklinde ise sadece sayfa uçlarında eski izleri görünmesi beklenmekteydi; halbuki herhangi bir sayfayı kullananların sayfanın içindeki sayı satırlarına da baktıklarını, satır takip ederken bıraktıkları parmak izleri görülmesi ile açıklanmıştır.

Ancak bu hikâyenin biraz abartıcı olduğu gerçektir. Çünkü logaritma cetveli kitapları sadece logaritma değerleri değil, antilogaritmaları ve çok kere üsler, kökler, sinuslar, kosinuslar ve benzeri trigonometri cetvelleri de ihtiva etmektedir. Bununla beraber, Newcombe'un yayımladığı makale birinci rakam dağılımları hakkında ilk açıklamayı ihtiva etmekte ve ikinci rakam dağılımı hakkında da bilgileri de kapsamaktadadır. Newcomb'un yazısında, N değerde herhangi bir sayının birinci rakamının log(N+1) değerde olacağı öne sürülmektedir.

Aynı gerçek 1938'de daha geniş alanlarda bulunan veri gruplarını inceleyen fizikçi Frank Benford tarafından da tekrar keşif edilmiştir. 1996'da Ted Hill bu sonucun karışık dağılımlara da uygulanabilineceğini ispat etmiştir.

Benford'un savı Amerikan televizyon şirketi CBSin hazırladığı NUMB3RS adlı bir televizyon serisinin The Running Man (Koşan Adam) adlı bölümü için temel kurgu aleti olarak kullanılmıştır.

• Adlî muhasebe
• Kesin hesap kontrolü