Tork

Tek bir parçacığın açısal momentumun tanımı şu şekildedir:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times {\boldsymbol {p}}}$

“x” çapraz çarpım vektörünü işaret ederken, p parçacığın doğrusal momenti, r ise orijinalin yer değiştirmiş vektörüdür. (orijinal hal, boşlukta herhangi bir yere sabitlenmiş konumdur.) Bu olayın zaman türevi:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times {\boldsymbol {p}}.}$

Bu sonuç vektörleri bileşenlerine bölerek ve çarpma kuralı uygulanarak kolaylıkla kanıtlanabilir. Kuvvetin tanımını ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}}$ (kütle sabit olsun ya da olmasın) ve hız tanımını kullanarak ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times {\boldsymbol {p}}.}$

Hız (v) ile alakalı momentum çapraz çarpımının (p) sonucu sıfırdır çünkü hız ve momentum paraleldir, bu yüzden ikinci terim yok olur. Tanım olaraksa, tork τ = r × F dir. Dolayısıyla parçacık üzerindeki tork, zamanla ilişkili açısal momentumun ilk türevine eşittir. Eğer çift kuvvet uygulanırsa, Newton’un ikinci kuralını işaret eder Fnet = ma ve şunu izler:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }.}$

Bu genel bir kanıttır.

Moment Kolu Diagramı

Oldukça kullanışlı özel bir durumda, torkun fizik dışındaki diğer alanlardaki tanımı şu şekilde verilir:

${\displaystyle |\tau |=({\textrm {moment\ kolu}})({\textrm {kuvvet}}).}$

Moment kolunun yapısı üstteki figürde, r ve F vektörleri ile gösterilmiştir. Bu tanımdaki problem torkun yalnızca büyüklüğünü verip, yönünü vermemesidir, ve bu yüzden bunu üç boyutlu durumlarda kullanmak zordur. Eğer kuvvet, yer değiştirme vektörü r ye dik ise, moment kolu merkeze olan uzaklığa eşit, ve torkta verilen kuvvet için en maksimum düzeyde olacaktır. Dik kuvvetten doğan tork büyüklüğünün denklemi:

${\displaystyle |\tau |=({\textrm {distance\ to\ centre}})({\textrm {force}}).}$

Örneğin, eğer bir kişi 0.5 m uzunluğundaki (ya da herhangi uzunluktaki bir anahtarın dönme noktasından gelen 0.5 m lik 10 N kuvvet) anahtarın bağlantı ucunun sonuna 10 N lik bir kuvvet koyarsa, tork 5 N-m olacaktır, burada kişinin harekete alanındaki anahtara dik bir kuvvet uygulayarak anahtarı hareket ettirdiği varsayılır.

Fg ve −Fg zıt kuvvetlerinden ortaya çıkan tork, L nin tork ile aynı yöndeki açısal momentumunda değişime sebep olur. Bu da baş kısmın devinimine sebep olur.

Bir nesnenin durağan dengede olması için, hem kuvvetlerin toplamının sıfır olması, hem de herhangi bir noktadaki torkların (momentlerin) toplamının sıfır olması gerekir. Yatay ve dikey kuvvetlerin olduğu iki boyutlu bir durumda, kuvvetlerin toplamı iki tür denklem gerektirir: ΣV = 0 ve torkun üçüncü denklemi de şudur: Στ = 0. Bu yüzden, iki boyutluların statikçe belirli denge problemlerini çözmek için, 3 denklem kullanılır.

Sistemin net kuvveti sıfır olduğunda, tork havada hangi noktada ölçülürse ölçülsün aynıdır. Örneğin, tekdüze mıknatıs alanındaki akım taşıma döngüsü üzerindeki tork, referans noktasına bakılmasızın aynıdır. Eğer net kuvvet ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sıfır değil ise, ve ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}}$ den ölçülen tork ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ise, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ den ölçülen tork şu şekildedir:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F} }$

Dönüşme faktörü, farklı birimlerdeki güç, tork ya da açısal hız kullanırken gerekli olabilir. Örneğin, eğer dönüş hızı (devir sayısı) açısal hız (radyan sayısı) yerinde kullanılırsa, her devir 2π radyanla çarpılmalıdır. Bunu takip eden formüller, P güç, τ tork ve ω dönüşsel hızdır.

${\displaystyle P=\tau \times 2\pi \times \omega }$

Diğer birimler:

${\displaystyle P/{\rm {W}}=\tau /{\rm {(N\cdot m)}}\times 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\times \omega /{\rm {(rev/sec)}}}$

Her 60 saniye için bölündüğünde ise;

${\displaystyle P/{\rm {W}}={\frac {\tau /{\rm {(N\cdot m)}}\times 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\times \omega /{\rm {(rpm)}}}{60}}}$

Dönüşsel hız her dakikadaki devir sayısıdır (rpm)

Bazı insanlar (örneğin Amerikan otomotiv mühendisleri)güç için beygir gücünü (imperiyal mekanik), tork için fit-pound (lbf•ft) ve rpm için de dönüşsel hızı kullanırlar. Bu, formülün şu şekilde değişmesiyle sonuçlanır;

${\displaystyle P/{\rm {hp}}={\frac {\tau /{\rm {(lbf\cdot ft)}}\times 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\times \omega /{\rm {rpm}}}{33,000}}.}$

Bu aşağıdaki değişmezlik (dakikadaki fit poundları) beygir gücü tanımı ile değişir, örneğin, ölçü için beygir gücü kullanılırsa, bu yaklaşık olarak 32, 550 olur.

Diğer birimlerin kullanımı (örneğin saatteki güç için BTU) başka bir geleneksel değişim faktörü gerektirebilir.

Dönen bir nesne için, dönüşün çevresi ile sarılan boyuna mesafe, açıyla sarılan radyanların ürününe eşittir. Bu demek olur ki: boyuna mesafe = radyan x açısal uzaklık. Ve tanım olarak, boyuna mesafe = boyuna hız x zaman = radyan x açısal hız x zaman. Torkun tanımı: Tork = radyan x kuvvet. Kuvveti hesaplayabilmek için şu şekilde değiştirebiliriz: Kuvvet = Tork ÷ Yarıçap. Bu iki değer güç tanımı için, birbiri yerine kullanılabilir:

${\displaystyle {\mbox{power}}={\frac {{\mbox{force}}\times {\mbox{linear distance}}}{\mbox{time}}}={\frac {\left({\frac {\mbox{torque}}{\displaystyle {r}}}\right)\times (r\times {\mbox{angular speed}}\times t)}{t}}={\mbox{torque}}\times {\mbox{angular speed}}.}$

Radyan r ve zaman t bu denklemden çıkarılmıştır. Ancak, açısal hız radyanlarda olmalıdır, doğrusal hız ve türemenin başlangıcındaki açısal hızın arasındaki doğrudan ilişki hesaba katılmalıdır. Eğer dönüş hızı her bir zaman birimindeki devir için hesaplanırsa, doğrusal hız ve uzaklık oransal olarak türemenin 2π yukarısındadır.

${\displaystyle {\mbox{power}}={\mbox{torque}}\times 2\pi \times {\mbox{rotational speed}}.\,}$

Eğer tork Newton metreyse ve dönüş hızı her saniyedeki devir sayısıysa, yukarıdaki denklem saniyedeki Newton metrelik ya da wattlık gücü verir. Beygirgücü denklemi ise her beygirgücü için 33,000 ft•lbf/d klik türeme faktörünün uygulanması ile elde edilir

${\displaystyle {\mbox{power}}={\mbox{torque }}\times \ 2\pi \ \times {\mbox{ rotational speed}}\cdot {\frac {{\mbox{ft}}\cdot {\mbox{lbf}}}{\mbox{min}}}\times {\frac {\mbox{horsepower}}{33,000\cdot {\frac {{\mbox{ft }}\cdot {\mbox{ lbf}}}{\mbox{min}}}}}\approx {\frac {{\mbox{torque}}\times {\mbox{RPM}}}{5,252}}}$

çünkü ${\displaystyle 5252.113122\approx {\frac {33,000}{2\pi }}.\,}$