Çifte karmaşık sayılar

İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım:

${\displaystyle \mathbb {C} _{1}=\{a+\mathbf {i} _{1}b\,|\,a,b\in \mathbb {R} {\text{ ve }}\mathbf {i} _{1}^{2}=-1\}}$

ve

${\displaystyle \mathbb {C} _{2}=\{a+\mathbf {i} _{2}b\,|\,a,b\in \mathbb {C} _{1}{\text{ ve }}\mathbf {i} _{2}^{2}=-1\}}$.

Yâni biri gerçel sayılardan elde ettiğimiz alışık olduğumuz karmaşık sayılar kümesi, diğeri ise alışık olduğumuz karmaşık sayılardan elde ettiğimiz daha geniş bir halka. Bu kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir.

O halde, ${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$ kümesindeki her öğe,

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} _{1}b+\mathbf {i} _{2}c+\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}d}$

şeklinde yazılabilir. Buradaki iki birimin çarpımı

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}=\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{1}}$

olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

${\displaystyle \mathbf {h} ^{2}=(\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2})^{2}=\mathbf {i} _{1}^{2}\mathbf {i} _{2}^{2}=(-1)(-1)=1}$

özelliğini sağlar. Bu takdirde her çifte karmaşık sayı,

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} _{1}b+\mathbf {i} _{2}c+\mathbf {h} d}$

olarak ifade edilebilir.

Eğer hiperbolik bir sayının tanımını

${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+\mathbf {h} b\,|\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ ve }}\mathbf {h} ^{2}=1\}}$

gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

${\displaystyle z=(a+\mathbf {i} b)+(c+\mathbf {i} d)\mathbf {h} =a+\mathbf {i} b+\mathbf {h} c+\mathbf {h} \mathbf {i} d}$

şeklinde ifade edilecektir. Burada

${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {h} \mathbf {i} =\mathbf {i} \mathbf {h} }$ ve bu takdirde ${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}=-1}$

olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

${\displaystyle z=a+\mathbf {i} b+\mathbf {h} c+\mathbf {k} d}$

şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.