Süper açıkorur cebir

[1][2] göre 3+1D içinde ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ süper açıkorur cebir bozonik üreteçler ${\displaystyle P_{\mu }}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$, ${\displaystyle K_{\mu }}$ ile veriliyor,U(1) R-simetri ${\displaystyle A}$, SU(N) R-simetri ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ ve fermiyonik üreteçler ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$, ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$, ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$ ve ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$. ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$ uzayzaman indisleri ifade ediliyor, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ sol-el Weyl spinor indisleri ve ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ sağ-el Weyl spinor indisleri, ve ${\displaystyle i,j,\dots }$ iç R-simetri indisleridir.

Lie süperbraketleri

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

ile veriliyor Bu bozonik açı korur cebirdir. Burada, η Minkowski metriğidir.

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

Bozonik açı korur üreteçler herhangi R-yükü taşımaz .

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

Ama fermiyonik üreteçler olur.

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

Fermiyonik jeneratörler bozonik konformal dönüşümler altında dönüşümü nasıl söyler?

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

süper Virasoro cebirine bakınız. Burada iki olası cebir; bir Neveu-Schwarz cebri ve bir Ramond cebri.

• açı korur simetri
• Süper Virasoro cebiri
• Süpersimetri cebri