Magnetostatik

Maxwell denklemlerinden başlayarak ve yüklerin sabit ya da sabit bir akım ile  haraketli olabileceği kabul edilerek, eşitlikler Elektriksel alan ve Manyetik alan olarak ikiye ayrılır.[1] Alanlar zamandan ve birbirlerinden bağımsızdır. Magnetostatik eşitlikler, aşağıdaki tabloda integral ve diferansiyel formda gösterilmiştir.

Name	Partial differential form	Integral form
Gauss's law for magnetism:	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$
Ampère's law:	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }}$

∇, ıraklaşma miktarı, B, manyetik akının yoğunluğudur. İlk integral, s yüzeyinin tamamı, ds ise s yüzeyindeki küçük bir elementin boyutlarıdır. ikinci integral J, akım yoğunluğu, H manyetik alanının yoğunluğudur. Kapalı bir düğüm c'nin etrafındaki integraldir, satır elementi ı'dır.  

Maxwell denklemlerinin tam halleri ile yukarıdaki eşitliklerin karşılaştırılması ve kaldırılan terimlerin önemi de düşünülerek, bu yaklaşımın doğruluğu ve kalitesi tahmin edilebilir.

Magnostatik problemleri çözmek için kullanılan yaygın bir teknikte artan zaman adımlarıdır ve bu teknik dB/dt ' ye yaklaşmak için kullanılır. Bu sonucu Faraday Yasalarına uygulamak, E ( daha önceden bahsedilmişti ) için bir değer buldurur. Yavaşça değişen alanlar için bu çözüm iyi bir yaklaşım sağlasa da, Maxwell eşitlikleri için doğru bir metot değildir.

Eğer bir sistemdeki tüm akım değerleri biliniyorsa, ( örneğin akım yoğunluğunun tüm tanımı ) Biot-savart yasası ile, manyetik alan, akımlar kullanılarak bulunabilir:

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} )\times \mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }}$

Bu teknik orta karar bir vakumun veya göreli geçirgenliği  1 olan materyallere benzer materyallerin olduğu yerlerde oluşan problemleri çözerken işe yarar. Bu hava- çekirdek indikatörlerini ve hava-çekirdek transformatörlerini de kapsar. Bu tekniğin bir avantajı, bir bobin eğer karmaşık bir geometriye sahipse, bölümlere bölünebilir ve her bir bölüm için integral uygulanabilir. Genelde bu eşitlik, lineer problemleri çözmek için kullanılır. Farklı durumlar da bunlara dahil edilebilir. Numerik entegrasyon, çok zor bir geometri için kullanılabilir.

Baskın manyetik materyalin, küçük hava aralıklarına göre oldukça yüksek geçirgenlikte manyetik çekirdeğe sahip olduğu problemler için, manyetik çember yaklaşımı yararlı olacaktır. Manyetik çember uzunluğuna nazaran hava aralıkları daha büyükse, saçaklar o denli belirgin olur ve genelde, hesaplama için sonsuz sayıda element gerekir. Sonsuz sayıda element hesaplaması, yukarıdaki formüllerin modifiyeli halini kullanır.  Böylece manyetik potansiyel hesaplanır. B değeri manyetik potansiyelden bulunabilir.  

Vektör potansiyelinden, manyetik alan türetilebilir. Manyetik alanın ıraksanmasının yoğunluğu sıfır olduğu için,

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$

ve vektör potansel akımı ile ilişkisi ;

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} )} }{r}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }.}$

Kuvvetli manyetik materyaller , (Ferromanyetik, Feramanyetik veya Paramanyetiklik ) elektron spinleriden kaynaklanan bir mıknatıslanmaya sahiplerdir. Bu tarz materyallerde mıknatıslanma aşağıdaki eşitlik kullanılarak açıkça ifade edilebilir ;

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$

Metaller hariç, elektrik akımları yok sayılabilir. Böylece Ampère yasası kısaca ;

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$

Genel çözüm ;

${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$

 ${\displaystyle \Phi _{M}}$  skaler potansiyeldir. Bunu Gauss yasasında yerine koyarsak ,

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$

Bu nedenle mıknatıslanmanın ıraksaması,  ${\displaystyle \scriptstyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$ elektrostatikteki elektrik yüklerinin analojisinde bir role sahiptir ve genelde yük yoğunluğu ${\displaystyle \rho _{M}}$ olarak gösterilir.

Vektör potansiyel metodu aynı zamanda akım yoğunluğu ile de istihdam edilebilir

${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$

Dolayısıyla, mıknatıslanmanın diverjansı ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {M}},}$, elektrostatikteki elektriksel yükle aynı role sahiptir.[2]