Hesse matrisi

f : ℝⁿ → ℝ girdi olarak bir vektör x ∈ ℝⁿ alan ve çıktı olarak bir skaler f(x) ∈ ℝ veren bir fonksiyon olsun; eğer f'in tüm ikinci-dereceden kısmi türevleri alınabiliyorsa ve fonksiyonun tanım kümesinde sürekliyse, o zaman f'in Hesse matrisi H bir kare n×n matris olarak şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

veya, i ve j indisleri kullanılarak daha öz bir şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Bu matrisin determinantı da bazen Hesse olarak adlandırılır.[2]

Bir Hesse matrisinin Jacobian matrisiyle ilişkili olduğu söylenebilir: H(f(x)) = J(∇f(x))^T.

f'in karışık türevleri Hesse'nin ilkköşegeninde yer almayan terimleridir. Sürekli oldukları kabul edilirse, türevleme sırası önemli değildir (Schwarz kuramı). Yani Hessian ilkköşegene göre simetriktir. Örneğin,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$