Gama fonksiyonu

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift ${\displaystyle \Gamma (z)}$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}$

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}$

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}$

Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

${\displaystyle \Gamma (z)}$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ( z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) ⁿ/n !).[1]

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}$

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}$

değişik bir gösterim...

${\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}$

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

${\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}}$  ,   yakınsaklık için ${\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}}$ olmalıdır.

• 
  Mutlak değer
• 
  Gerçel kısım
• 
  Sanal kısım

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}$

böylece

her negatif olmayan n için.

${\displaystyle \Pi (n)=n!,}$

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}$

ayrıca bazen

${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}$

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap ${\displaystyle r_{1},...,r_{n}}$ ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

${\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}$

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

${\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}$

özel olarak, eğer ${\displaystyle a=0}$ ise

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$