Fark işleci

f(x) işlevinin n. ileri farkı

${\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k)}$

biçiminde ifade edilmektedir. Burada ${\displaystyle {n \choose k}}$ binom katsayısını göstermektedir. Bir diziye uygulanan ileri farklar zaman zaman o dizinin binom dönüşümü olarak adlandırılmaktadır.

İleri farklar Nörlund-Rice integrali yardımıyla hesaplanabilmektedir. Bu tür dizilerin integral biçimindeki ifadesinin ilginç olmasının nedeni asimptotik açılım ve sırt noktası yöntemleriyle hesaplanabiliyor oluşlarıdır. Öte yandan, ileri fark dizilerini hesaplamak artan n değerleri için gittikçe güçleşmektedir.

Adını Isaac Newton'dan alan ve Newton ileri fark denklemi olarak da adlandırılan Newton dizisi

${\displaystyle f(x+a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x \choose k}\Delta ^{k}[f](a)}$

biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade tüm f polinomları ve bazı analitik işlevler için geçerlidir. Burada

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$

binom katsayısını,

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

"azalan faktöryel" ya da "alt faktöryeli" göstermektedir.

p-sel sayılar bağlamında Mahler kuramı, f'nin polinom olmasına ilişkin varsayımın f'nin sürekli olmasına ilişkin varsayıma değin zayıflatılabileceğini savunmaktadır.

Carlson kuramı bir Newton dizisinin özgün olması için gerekli ve yeterli koşulları belirlemektedir. Ne var ki, Newton dizileri genellikle tanımlı değillerdir.

Newton dizisi, Stirling dizisi ve Selberg dizisi genel fark dizisinin özel durumlarıdırlar. Bu dizilerin tümü ölçeklenmiş ileri farklar cinsinden tanımlanabilmektedir.

Türev alma kurallarına benzer biçimde

• Sabit kuralı: c sabit bir sayıysa

${\displaystyle \Delta c=0{\,}}$ eşitliği sağlanır.

• Doğrusallık: a ve b sabit sayılar ise

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$ eşitliği sağlanır.

Bu kurallar ${\displaystyle \nabla }$ ve ${\displaystyle \Delta }$'nın da içinde bulunduğu tüm fark işleçleri için geçerlidir.

• Çarpma kuralı:

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

${\displaystyle \nabla (fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g}$

• Bölme kuralı:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}}$

ya da

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$

${\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}$

• Toplam kuralları:

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}$

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}$

İleri fark işlecinin ters işleci belirsiz toplamdır.

Fark işleci bir kısmi sıralı küme üzerinde Möbius evirtimine dönüşmektedir.

• Newton polinomu
• Newton dizileri tablosu
• Lagrange polinomu
• Gilbreath önermesi