Sonlu fark

Genelde yalnızca üç tip sonlu fark formu kullanılır. Bunlar: İleri yönde, geri yönde ve merkezi farklardır.

İleri yönde fark, aşağıdaki formun ifadesidir:

${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).\ }$

Formun uygulamasına göre, h bir değişken ya da sabit olabilir.

Geri yönde farkta, fonksiyon değerleri olarak x + h and x yerine x and x − h kullanılır:

${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).\ }$

Merkezi fark da, şu şekildedir:

${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).\ }$

Bir f fonksiyonunun x noktasındaki türevi o fonksiyonun limiti ile tanımlanır:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Eğer h sıfıra yaklaşmaktansa sabit (sıfır olmayan) bir değer alırsa, o zaman, denklemin sağ tarafını şu şekilde yazmak mümkün olabilir:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$

Görüldüğü gibi, ileri yönde fark h ile bölündüğü zaman, farkın değeri türevin değerine yakınsar (eğer ki h küçük ise). Bu yaklaşımda hata değeri Taylor teoremi ile bulunabilir. f sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyon ise, hata değeri:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}$

Aynı formülasyon, geri yönde fark için de geçerlidir:

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}$

Fakat, merkezi fark ile türevin asıl değerine daha da iyi yaklaşılır çünkü hata değeri, ara uzaklığın (h) karesi ile orantılır (eğer ki f fonksiyonu iki kez türevlenebilir bir fonksiyon ise):

${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).\!}$

Merkezi fark yöntemindeki sorun ise, salınımlı fonksiyonların sıfır türev türetebilmesidir. Merkezi farklar şeması kullanılarak yapılan bir işlemde, eğer değeri sıfır olmayan bir a değişkeni için f(ah)=1; değeri sıfır olan için ise f(ah)=2 ise, türev f'(nh)=0 olacaktır. Bu durum özellikle f fonksiyonunun tanım kümesi ayrık ise önemli bir sorundur.