Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu

Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:

• Metre cinsinden, "pozisyon" yahut "koordinat" dört boyutlu vektörü

${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,x,y,z)\,.}$

• Metre·saniye⁻¹ cinsinden, hız dört boyutlu vektörü (başka bir deyişle dört boyutlu hız vektörü)

${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} )\,}$

γ(u) 'nin Lorentz çarpanı olduğu yerde üç boyutlu hız vektörü u 'dur.

• kilogram·metre·saniye⁻¹ cinsinden, bir parçacığın dört boyutlu momentum vektörü (başka bir deyişle momentum dört boyutlu vektörü)

${\displaystyle p_{\alpha }=(E/c,-\mathbf {p} )=mu_{\alpha }\,}$

p üç boyutlu momentum olduğu yerde, E kinetik enerjidir, vem parçacığın durgun kütlesidir.

• metre⁻¹ cinsinden the dört boyutlu eğim

${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$

• Metre cinsinden⁻² d'Alembertian operatörü : ${\displaystyle \Box }$ şeklinde gösterilir.

Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski tensörüne tekabül eden +--- kullanımıdır:

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. volt·saniye·metre⁻² cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:[1]

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,}$

ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu

${\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,.}$ 'dur.

E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir, ve c ışık hızıdır.

dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. amper·metre⁻² cinsinden,

${\displaystyle J^{\alpha }=\,(c\rho ,\mathbf {J} )\,}$

şeklinde gösterilir.

volt·saniye·metre⁻¹ cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir, ve şu şekilde formüle edilir:

${\displaystyle A_{\alpha }=\left(\phi /c,-\mathbf {A} \right)\,}$

Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$

The elektromanyetik gerilim–enerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir, ve elektromanyetik alanların toplam gerilim–enerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joule·metre⁻³ cinsinden şu şekilde gösterilir

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,}$

ε0 vakumlu ortamın elektrik geçirgenliği olduğu yerde, μ0 da vakumlu ortamın manyetik geçirgenliğidir, Poynting vectorü watt·metre−2  cinsinden

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ 'dir.

ve Maxwell gerilim tensörü in joule·metre⁻³ cinsinden şu şekilde gösterilir

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$

The elektromanyetik alan tensörü F elektromanyetik gerilim–enerji tensörünü T aşağıdaki formülle oluşturur:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta _{\gamma \nu }F^{\alpha \gamma }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$

η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen

${\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,}$

ilişkisini kullandığımızdır.

Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:

${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$

Lorenz ölçülerinde, mikroskopik Maxwell denklemleri şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle \Box A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,}$

qyüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki [[Dosya:Lorentz force particle.svg|200px|küçükresim|Lorentz kuvveti f ]. The electric alan E ve manyetik alan B uzay ve zamanda değişir.

Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler.bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile, ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.[3]

Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş t 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:

${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}}\,}$

pα 'nin yukarıda görüldüğü gibi dört boyutlu momentum olduğu koşulda, q coulomb cinsinden elktrik yüküdür, vexβ metre cinsinden pozisyonu ifade eder.

Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır

${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }}$

Yukarıda görüldüğü gibi uβ 'nun dört boyutlu hız olduğu yerde ve τ 'nin parçacığın koordinat zamanıyla dt = γdτ bağıntısıyla bağlandığı zamanıdır.

Hareket halindeki sürekli bir yük dağılımında (yük yoğunluğu ρ) Lorentz kuvvetini (her birim üç boyutlu hacimdeki) f olarak gösterelim. üç boyutlu akım yoğunluğu J yük elemanı dq 'nun hacim elemanı dV 'nın hareketine karşılık gelir ve devamlılık süresince değişir.

Sürekli bir ortamda, üç boyutlu kuvvet yoğunluğu eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için güç yoğunluğuyla birleşir, f_μ. Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/c çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir

${\displaystyle -\mathbf {f} =-(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,}$.

Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$

Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir

${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$

Devamlılık denklemi:

${\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.}$

toplam yükün korunumunu açıklar.

Maxwell denklemlerini kullanarak, sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilim–enerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)

${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$

yahut

${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$

Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.

Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, J^ν Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;

${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$

olduğu zaman

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=(c\rho _{\text{free}},\mathbf {J} _{\text{free}})=\left(c\nabla \cdot \mathbf {D} ,-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \right)\,,}$

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=(c\rho _{\text{bound}},\mathbf {J} _{\text{bound}})=\left(-\ c\nabla \cdot \mathbf {P} ,{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \right)\,.}$

Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D ( coloumb·metre⁻¹ cinsinden) tanımları the definitions of the electric displacement ve manyetik şiddet H (amper·metre⁻¹ cinsinden):

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.}$

M manyetizasyon (ampere·metre⁻² cinsinden) veP electriksel polarizasyon ( coulomb·metre⁻² cinsinden) olduğu .

Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (amper·metre²) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir [1]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

ve bağlı akım su sekilde belirlenir

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$

Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü F^μν birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (amper·metre⁻¹ cinsinden) :

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.

Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:

${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$

Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü F^μν ifadesini

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,}$ ile ifade etmek gelenekseldir.

Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:

${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.\!}$

Elektromanyetik gerilim–enerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:

${\displaystyle T_{\alpha }^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

δ_α^π Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.

Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, J^ν daha kolay modeller — serbest akımı modellemek, J^ν_free ve manyetizasyonla polarizasyonu, ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$. Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi buna sahip;

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{free}}=\sigma \mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} \,}$

σ onun elektrik iletkenliği, χe onun elektrik hassalığı, ve χm onun manyetik hassaslığıdır.

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ve F tensörleri arasındaki geleneksel ilişki, Hermann Minkowski tarafından lineer malzemeler için ortaya konmuştur  (yani, E ile D doğru orantılı veB de H ile doğru orantılı),:[4]

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }=c^{2}\epsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }}$

${\displaystyle {\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }}$

u 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir

(i.e. in rest frame of material), ${\displaystyle \star }$ vedenotes the Hodge dual.

Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu) ( joule·metre⁻³ cinsinden) şöyledir;

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {alan} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$

Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.

Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için Euler–Lagrange denklemi ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha })\,}$ ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:

${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$

Not

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,}$,

kare parantezlerin içindeki ifade

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial (F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma })}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha })+F_{\mu \nu }(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha })\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$

İkinci terim

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$

Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;

${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$

Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.

Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$

Euler–Lagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$ ifadesi türetilebilir.

Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$