Birebir fonksiyon

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle Y}$'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}$ için ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ eşitliği ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ eşitliğini gerektiriyorsa, yani ${\displaystyle X}$'in iki değişik elemanı ${\displaystyle Y}$'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Örneğin, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin ${\displaystyle f(-5)=f(5)}$ eşitliği sağlanır; öte yandan gene ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$ birebir iki fonksiyonsa o zaman ${\displaystyle g\circ f}$ fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$ iki fonksiyonsa ve ${\displaystyle g\circ f}$ (bkz. bileşke) birebirse o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}$ için ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ ise, o zaman her iki tarafı da ${\displaystyle g}$'de değerlendirerek, ${\displaystyle g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))}$ elde ederiz, yani ${\displaystyle (g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})}$. Buradan da ${\displaystyle g\circ f}$ birebir olduğundan ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle Y}$'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, ${\displaystyle X}$'in ${\displaystyle Y}$'den "daha az" ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ ve ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ ise ${\displaystyle |X|\simeq |Y|}$'dır, yani ${\displaystyle X}$ ile ${\displaystyle Y}$ arasında bir eşleme vardır.