Pearson ki-kare testi

Pearson ki-kare testi nicel veya nitel değişkenler arasında bağımlılık olup olmadığının, örnek sonuçlarının belirli bir teorik olasılık dağılımına uygun olup olmadığının, iki veya daha fazla örneğin aynı anakütleden gelip gelmediğinin, ikiden fazla anakütle oranının birbirine eşit olup olmadığının ve çeşitli anakütle oranlarının belirli değere eşit olup olmadığının araştırılmasında kullanılır. İstatistik biliminin çıkarımsal istatistik bölümünde ele alınan iki-değişirli parametrik olmayan test analizlerinden olan ve ki-kare dağılımı'nı esas olarak kullanan ki-kare testlerinden en çok kullanılanıdır. İngiliz istatistikçi olan Karl Pearson tarafından 1900'da ortaya çıkartılmıştır.[1]

Bağımsızlık testi

Pearson ki-kare testi yönteminin pratik bir problem çözülmesinde kullanılması şu basamaklar kullanılarak yapılır.

1. Araştırma konusu:
Pearson'un ki kare testi her biri iki kategorili olan iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken arasındaki bağımsızlık veya bağımlılık ilişkisinin incelenmesi için kullanılır. Bir iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken

  • "satır değişkeni" : kategorili ve
  • "sütun segiskeni" : kategorili .

Araştırma konusu genellikle X ile Y değişkenlerinin birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olduğudur. Buna başlıca neden Pearson'ın ki kare yeştinin "bağımlılık" konusunda çok zayıf sonuç vermesidir.

2. Hipotezler:
Pearson'un ki kare test için hipotezler şöyle ifade edilir:

  • H0</sub) "sıfır hipotez" : iki kategorili olan iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken birbirinden istatisktiksel olarak bağımsızdır.
  • H1 "alternatif hipotez": iki kategorili olan isimsel ölçekle ölçülen iki rassal değişken birbirinden istatistiksel olarak bağımsız değildir.

Bu hipotezlerden açıkça görülmektedir ki sınanma için kullanılan hipotez anakütle parametreler değerleri hakkında değildir ve bir istatistiksel nitelik hakkındadır. Böylece Pearson ki-kare testi bir parametrik olmayan istatistik örneğidir. Bunun yanında, dikkat edilmelidir ki alternatif hipotezin bir "negatif" cümle olarak ifade edilmektedir. yani "istatistiksel olarak bağımsız değildir" ifadesi. Bu ifade pozitif vir cümle yani alternatif hipotezde "iki rassal değişken istatistiksel olarak bağımlıdır." dememektedir. Yapılan çıkarımsal test analizi sonuncu "sıfır hipotez" reddedilirse iki değişkeninin ne kadar birbirine bağımlı olduğu bulunmaz; bağımlılık derecesi çok küçük olması mümkündür.

3. Veri toplanması, her hücresi için "gözlemlenen değerler" bulunan kontenjans tablosu ve marjinal toplamlar:
Pearson ki kare testi "iki-değişirli" istatistiksel analize örnektir; yani her bir "vaka" için iki değişir hakkında veri elde edilir. Değişir için sadece X ve Y olan iki-isimsel ölçekli değişken hakkında cevap olabilir. Örneğin; bir ankete verilen tek kişi cevabı "tek vaka"dır ve araştırmada bu ankete bulunan iki soruya, yani 2 değişire, araştırmacı ilgisi çekilmektedir. Her iki değişir de isimsel ölçekli kategorik değerler alabilir. İki-değişir kategorili gözlem özetlenmesi bir "kontenjans tablosu" halinde olur ve Pearson ki-kare testi için pratikte kullanılan veriler bu karşılıklı olarak sınıflandırılmış iki değişirli "kontenjans tablosu" halindedir.

Kontenjans tablosu verileri şu tip tabloda özetler:

değişiri Satır Toplamı Σ
değişiri 1 2 k c nj.
1 O11 O12 ... O1k ... O1r O1.
2 O21 O22 O2k O2c n2.
j Ojk nj.
r Or1 Or2 Ork Orc nc.
Sütun toplamı Σ n.1 n.2 n.k n.c n

Bu tabloda bulunan rxc adet ifadesi "gözlem değerleri"'dir ve tam sayılıdırlar. Her bir j satırı için l=1,...,r "satır toplamı" = Her bir k sutunu için k=1,...,c "sütun toplamı" = olarak bulunur ve bunlar a "marjinal toplamlar" adı da verilir.

Satır toplamları hepsinin toplamı ve sütün toplamları hepsinin toplamı toplam gözlem sayısınına, yani örneklem büyüklüğü olan n değerine eşittir.

4. Teorik "beklenen değerler":
Her bir hücre üçün bur "beklenen değer" yani Ejk l-1,...r ve k=1,...c bulunur. Bu "beklenen değer" olasılık teoeiasinde bulunan iki bağımsız rassal değişken olan A ve B için "çarpım savı"na dayanır. Bu "bağımsız iki rassal değişken için çarpım savı" şöyle ifade edilir:

Bu savı kullanarak ve olasılığın asımtotik olarak "relatif çokluluk"'a eşit olduğu kabul edilip, eğer X ve Y değişirleri sıfir hipoteze uygun olarak bağımsızlarsa, her bir (jk) hücresi için olasılı şöyle ofade edilebilir:

Bu olasılık ifadesinin her iki tarafını da ile çarpılırsa her bir hücre için "beklenen değer" şöyle bulunur:

5: Hesaplanan ki-kare değeri. Serbestlik derecesi
Hesaplanan ki-kare değeri

Serbestlik derecesi :

6. Anlamlılık seviyesi ve bu seviye için teorik test istatistik ki-kare değeri

Anlamlılık seviyesi ve p-değeri.

wird abgelehnt, wenn , dem -Quantil der -Verteilüng mit

7. Test sonucu ve araştırma konusu

Uygunluk iyiliği testi

"Tekdüze ayrık dağılım'a uygunluk", binom dağılım'a uygunluk", Poisson dağılım'a uygunluk" ve eğer normal değerler sınıflandırılıp sınıf ortalaması kategori değeri gibi kullanılırsa "normal dağılım'a uygunluk" testleri olabilirler.

Ayrık tekdüze dağılımına uygunluk testi

Bu tip problemde n tane sayısal olarak belirtilmiş kategorisi bulunan isimsel ölçekli bir değişken bulunur. Elde edilen N sayıda örneklem de bu kategorilerin frekansları çokluğudur yani Veriler nx1 tipli (yani n satırlı ve 1 sütunlu) bir özel "kontenjans tablosu" halindedir ve bu tabloda n tane hücre bulunup her hücrede o hücrenin kategorisinde olan tam sayı ile ifade edilen "çokluluk (frekans)", ı=1..n) vardır. Her bir hücre çokluğu o kategoriye isabet eden "gözlemlenen değer" olarak alınır.

"Sıfır hipotez" bu veri dağılımının teorik olarak ayrık tekdüze dağılım'ina uyacağıdır ve alternatif hipotez bu dağılıma uymayacağıdır. Bu çok basit sıfır hipotezderi ve teorik olarak her bir hücrenin birbirine eşit sayıda "beklenen değer" alacağını önerir. Tekrar dikkat edilmelidir ki "ki-kare dağılım iyiliği" testi de (diğer Pearson ki-kare testi" gibi) eğer sıfır hipotez redelirse "zayıf" sonuç verir; yani eldeki veriler "ayrık tekdüze dağılım"'a uymaz ama hangi dağılım uyduğu bu test ile açığa çıkmaz.

Teorik "ayrık tekdüze dağılımı"'na göre rassal değişkende her bir veri kategorisi aynı olasılık gösterir. Bu nedenle N tane veri için her bir i kategorisi için aynı değer taşıyan "beklenen değer", E, yani

olarak hesaplanır.

"Hesaplanan ki-kare değeri" her hücre için "gözlemlenen değer" eksi "beklenen değer" farkının karesinin "beklenen değer"'e bölünmesinin tüm hücreler için toplanmasıdır: Yani

Test istatistiginin hesaplanmasi

Uygunluk iyiligi sinamasi için test istatistigi su formule gore hesaplanmir:

Bu formulde

= Pearson'un kumulatif test istatistigi olup, bu "hesaplanmis " değeri asimtotik olarak bir ki-kare dagilimi'na yakinlasmaktadir.
= gozumlenen cokluluk degeri;
= sifir hipotez onerisinin gercek oldugu kavul edilerek bir teorik beklenmekte olan cokluluk degerdir ;
= tabloda bulunan hucre sayisi
Ki-kare dagilimi, yatay x-ekseni "hesaplanmis " degerlerini dikey Y-ekseni ise P-degerleridir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. Karl Pearson (1900). "On the criterion that a given system of deviations from the probable ın the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arısen from random sampling". Philosophical Magazine, Series 5. 50 (302). ss. 157-175. doi:10.1080/14786440009463897.

Dış bağlantılar

  • Eric W. Weisstein, Chi-Squared Test (MathWorld)
  • Greenwood, P.E., Nıkulin, M.S.(1996). A guide to chi-squared testing , New York: J.Wiley, ISBN 0-471-55779-X.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.