Grup hızı

Düz Çizgi: Dalga pakti. Kesikli Çizgi: Dalga paketinin sarımı. Sarım grup hızında hareket eder.

Grup hızı, yani V_g aşağıdaki denklem ile tanımlanabilir;

${\displaystyle v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

Bu denklemde ω dalgaların açısal tekrar sıklığını (genellikle saniye başına düşen radyan sayısı ile ifade edilir) ve k açısal dalga sayısını (genellikle metre başına düşen radyan sayısı ile ifade edilir) gösterir. ω(k) fonksiyonu, “dağılım ilişkisi” olarak bilinir.

• Eğer ω doğrudan k ile orantılıysa, o zaman grup hızı, tam olarak faz hızına eşit olur. Şekli ne olursa olsun, bir dalga, bu hızda, dağılmadan yol alacaktır.
• Eğer ω, k’ nın çizgisel fonksiyonu ama doğru orantılı değilse (ω=ak+b), bu durumda grup hızı ile faz hızı birbirinden farklı olacaktır. Dalga paketi sarmalı, grup hızında ilerlerken, her bir dalga tekrar sıklığı -bireysel olarak- faz hızında hareket eder.
• Eğer ω, k’ nın çizgisel fonksiyonu değil ise, dalga paketi hareket ettikçe bozulacaktır. Bu bozulma doğrudan grup hızını etkiler. Bir dalga paketi, farklı tekrar sıklıklar içerdiğinden, grup hızı - ∂ω/∂k- farklı değerler alabilir çünkü ω, k’ nın çizgisel bir fonksiyonu değildir. Sonuç olarak sarmal tek bir hızda değil, farklı hızlar aralığında hareket eder ve bu sarmalın bozulmasına neden olur.

Grup hızı formülünün başka bir türevi de aşağıdaki gibidir; Dalga paketinin, x konumundaki ve t süresindeki fonksiyonunu t: α(x,t) olarak alalım, t=0 aldığımızda, A(k) onun Fourier dönüşümü olsun;

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx},}$

Çakışma prensibiyle, herhangi bir zamanda dalga paketindeki t aşağıdaki gibi olacaktır;

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$ (Burada ω, dolaylı olarak knın bir fonksiyonudur.)

Burada, A(k) sadece merkez dalga boyunda k ₀ sıfırdan farklı bir değerde olabilsin diye dalga paketinin neredeyse monokromatik olduğunu varsayıyoruz. Daha sonra doğrusallaştırma aşağıdaki gibi olacaktır;

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}}$

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$ ve ${\displaystyle \omega '_{0}={\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}|_{k=k_{0}}}$ Daha sonra bu eşitlemelerden aşağıdaki sonuca ulaşırız;

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{it(\omega '_{0}k_{0}-\omega _{0})}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ik(x-\omega '_{0}t)}.}$

${\displaystyle |\alpha (x,t)|=|\alpha (x-\omega '_{0}t,0)|,\,}$

Örneğin bir dalga paketi; ${\displaystyle \omega '_{0}=(d\omega /dk)_{k=k_{0}}}$ hızında hareket etmektedir. Bu grup hızı formülünü açıklar.

Bir önceki türevin bir kısmı varsayımdır.

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}}$

Eğer dalga grubu geniş bir yayılma tekrarsıklığına sahip ise, ya da yayılma hızı ${\displaystyle \omega (k)}$ keskin varyasyonlara sahip ise ( örneğin direnç gibi) , ya da eğer dalga grubu çok uzun mesafelere hareket ediyorsa, bu varsayım geçerli değildir. Sonuç olarak, dalga grubunun dalgaları sadece hareket etmiyor aynı zamanda sapıyor. Geniş anlamda, dalga grubunun farklı tekrarsıklık bileşenleri farklı hızlarda hareket eder. Dalga grubunun önüne doğru hareket eden bileşenler daha hızlı, dalga boyunun arkasına doğru hareket eden bileşenler daha yavaştır. En sonunda, dalga grubu uzamış olur. Taylor serisindeki bir sonraki mertebe (${\displaystyle \omega (k)}$ türeviyle ilgilidir), grup hızı yayılımı olarak adlandırılır. Ve bu kısa darbeli lazerlerde, yüksek enerji tasarımında ve fiberoptik sinyallerde ki en önemli etkidir.

Grup hızı genellikle enerjinin veya bilginin bir dalga boyunca taşındığı hız olarak düşünülür. Birçok durumda bu doğrudur ve grup hızı aynı zamanda dalga şekli sinyali olarak da nitelendirilebilir. Ancak, eğer dalga emici bir ortamda hareket ediyorsa, bu bilgi her zaman doğru olmaz. 1980lerden beri yapılan birçok araştırma ve deney gösterdi ki özel olarak hazırlanmış materyallerle gönderilen lazer ışığının grup hızı, hava boşluğunda ışık hızını geçebilir. Ancak bu durumda, ışık hızından daha hızlı bir iletişim mümkün değildir çünkü sinyal hızı ışık hızından her şekilde daha yavaş kalır. Akımı durdurarak ya da negatif grup hızı oluşturarak, grup hızını sıfıra düşürmek de mümkündür. Ancak tüm durumlarda, fotonlar ortamda beklenilen ışık hızında yayılmaya devam eder.

Grup hızının, dalgaların faz hızından farklı olduğu fikri ilk olarak 1839 yılında W.R. Hamilton tarafından ortaya atılmıştır

Işık için, kırılma indisi n ,boşluk dalga boyu λ₀ ve orta dalga λ aşağıdaki formül ile ilişkilidir.

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{p}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

V_p = ω/k faz hızı. Bu nedenle, grup hızı takip eden formül ile hesaplanabilir.

${\displaystyle v_{g}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}=v_{p}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{p}-\lambda {\frac {\partial v_{p}}{\partial \lambda }}=v_{p}+k{\frac {\partial v_{p}}{\partial k}}.}$