Dirichlet eta işlevi

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)

Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi

\eta (s)

.

s

noktasındaki renk

\eta (s)

değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

\eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)

Sayısal Algoritmalar

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

\eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}

koşulu sağlanıyorsa

\eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s)

eşitliğine ulaşılır. Burada $\Re (s)\geq {\frac {1}{2}}$ için geçerli γ_n hata payı

|\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|)

olarak hesaplanır.

Hata payındaki $3+{\sqrt {8}}\approx 5.8$ ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler

η(0) = ¹⁄₂, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
η(−1) = ¹⁄₄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere B_k k. Bernoulli sayısı ise
$\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}$

Ayrıca,

\!\ \eta (1)=\ln 2

(almaşık harmonik dizi)

\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}

\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}

\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}

\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}

\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}

\eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

$\eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}$

Ayrıca bakınız

Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function26 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34
Xavier Gourdon & Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function6 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Numbers, constants and computation (2003)
Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/25+Şubat+2009+tarihinde+Wayback+Machine+sitesinde+arşivlendi.
Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.