Weierstrass-Casorati teoremi

f(z) = exp(1/z), z₀ = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z³ 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).

${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan ${\displaystyle z=0}$ etrafında şu Laurent serisi vardır.

${\displaystyle f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!z^{n}}}.}$

${\displaystyle z\neq 0}$ olan tüm noktalar için ${\displaystyle f'(z)={\frac {-e^{\frac {1}{z}}}{z^{2}}}}$ var olduğundan, ${\displaystyle f(z)}$ 'nin ${\displaystyle z=0}$ 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.

Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ 'ya dönersek, fonksiyonumuz ${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

${\displaystyle f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta )}e^{-i\sin(\theta )}}$

haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak

${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}cos\theta }\right|\left|e^{-i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }}$

elde ederiz. Bu yüzden, ${\displaystyle \cos \theta >0}$ olan ${\displaystyle \theta }$ değerleri için, ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ iken ${\displaystyle f(z)\rightarrow \infty }$ olur ve ${\displaystyle \cos \theta <0}$ için, ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ iken ${\displaystyle f(z)\rightarrow 0}$ olur.

Sanal eksene teğet olan ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$ çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember ${\displaystyle r={\frac {1}{R}}\cos \theta }$ ile verilir. O zaman,

${\displaystyle f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

ve

${\displaystyle \left|f(z)\right|=e^{R}}$

olur. Bu yüzden, ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$ uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde ${\displaystyle z\rightarrow 0}$ oldukça, R sabit iken ${\displaystyle \theta \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}$ olur. Denklemin

${\displaystyle \left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.

Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z₀ komşuluğunda holomorf olsun ve z₀ esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z₀}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z₀}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z₀} üzerinde tanımlı

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}}$

fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z₀} üzerinde

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b}$

olur.

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}g(z)}$

limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z₀ 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z₀ kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.