van Stockum tozu

Bu çözümü elde etme yollarından biri de katı rotasyon içindeki silindirik olarak harika simetriye bakmaktır (akışkan çözümleri). Dünya hatları ile zamansal uyumlu sıvı parçacıkların sıfırdan farklı girdap olan ancak genişleme ve kesme kaybolan formunda olduğunu kabul ediyoruz. (İşin aslı toz parçacıkları kuvvet hissetmedikleri için, Bunun bir zamansal jeodezik uyum olduğu ortaya çıkacak ama bunu ileri işlemlerde böyle kabul etmemize gerek yoktur)

Tahmin yürüterek yaptığımız basit hesaplamalar aşağıdaki sisteme ihtiyaç duyar, bu da iki tane belirlenmemiş ${\displaystyle r}$ ye bağlı fonksiyonu içerir:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-h(r)\,\partial _{t}}$

Yanlış anlaşılmalardan kaçınmak için, aşağıdaki işlemi uyglamalıyız

${\displaystyle \sigma ^{0}=-dt+h(r)r\,d\phi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\phi }$

Böylece metrik tensörü iki tanımlanmayan faktör cinsinden verir.:

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Verilerimizi çarparsak

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\phi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\phi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Bu sisteme göre iki tanımlanmayan fonksyon cinsinden Einstein tensörünü bulmuş oluruz ve arika akışkan çözümlerinin sonucundan zaman benzeri birim vektör ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ oluştururuz sıvı parçacığına tanjant çizgisi olan her yer için. Böylece şu sonuca ulaşırız

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \,\operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\,\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Bu aşağıdaki koşulları vermektedir

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{r\,f}}}$

${\displaystyle f}$ yi çözüp ${\displaystyle h}$ değeri için uygun sistemler Van Stockum çözümünü tanımlamaktadır:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

Bu sistemin sadece ${\displaystyle r>0}$ da tanımlı olduğu unutulmamalıdır.

Bizim çerçeveye göre Einstein tensör Computing aslında basınç kaybolur gösterir, bu yüzden bir toz çözümümüz var. Toz kütle yoğunluğu bek çıkıyor

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\,\exp(a^{2}r^{2})}$

${\displaystyle r=0}$ simetri ekseninde bu sonludur, ama yoğunluk yarıçap ile beraber artar ama maalesef bu astrofiziğin sınırladığı özelliklerden biridir.

Gösterilen Killing denklemlerini çözersek aşağıdakiler tarafından oluşturulan

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

Burada, ${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$ sıfırdan farklı girdap vardır, bu yüzden, hem de bu eksen etrafında silindirik simetri ve dönme ekseni boyunca çeviri altında toz partiküllerinin dünya çizgisinde çeviri altında sabit bir uzay-değişmeyen var.

Gödel toz çözeltisi aksine, van Stockum toz parçacıkları geometrik seçkin eksen etrafında dönen vardır toz unutmayın.

Denildiği gibi ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ bileşeni kaybolur ama vorticity vektörü şu şekildedir.

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\,\exp(a^{2}r^{2}/2)\,{\vec {e}}_{1}}$

Bu hatta Comoving grafikte da toz partiküllerinin dünya hatları aslında parçacıklar simetri ekseni etrafında döndürülür toz olarak birbirinden yaklaşık büküm vardır, dikey çizgiler olarak görünür olduğu anlamına gelir. Toza bir küçük top yap evrimi takip Başka bir deyişle, bunun kendi ekseni çevresinde döner (${\displaystyle r=0}$ a parallel), ancak diğer kesme veya genişletmek değildir; İkincisi özellikler biz sert dönme ile ne demek tanımlar. , Çevri vektörünün büyüklüğü sadece bir olur eksen kendisini dikkat edin ${\displaystyle a}$.

Tidal tensörü;

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\,\exp(a^{2}r^{2})\,\operatorname {diag} (0,1,1)}$

bu toz parçacıkları üzerinde sürme gözlemci dönme düzlemi içinde izotropik gelgit gerilme geçirmektedir göstermektedir. Magnetogravitic tensör olduğunu

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\,\exp(a^{2}r^{2})\,\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

Dışa doğru gittiğimizde, görüyoruz ki daha büyük radii'li horizontal yuvarlaklar kapalı zamanımsı (zaman benzeri) eğridirler (curve) (yani büyük radiili horizanlar yuvarlaklar = kapalı zamanımsı eğri). Bu CTC lerin paradoksal yapısına ilk olarak van Stockum dikkat çekmişti: World lineları kapalı zamanımsı eğri oluşturan gözlemciler rahatça kendi geçmişlerini ziyaret edebilirler veya etkileyebilirler. Daha da kötüsü, böyle bir gözlemciyi, üçüncü hayatında(lifetime) örneğin hızlanmayı durdurmaya karar vermesini engelleyebilicek hiçbir şey yoktur ve bu durum ona bir den fazla biografi verir

kapalı zamansı (timelike) kıvrımlar genel göreliliğin birçok çözümünde ortaya çıkabilirler ve ortak ortaya çıkışları/görünüşleri bu teoriye en sorunsal teorik itirazlardan biridir. ancak çok az fizikçi böyle itirazların temelinde tamamen genel göreliliği kullanmayı reddederler. tercihen çoğu pragmatik tutum alarak her ne zaman onunla (genel görelilik) kurtulmak isterse teorinin birçok astrofiziksel durumda göreceli basitliği ve iyi kurulmuş güvenilirliği sayesinde göreceli olarak mantıklı gelir. bu birçok fizikçinin her gün newton fiziği'ni kullanmasına benzer değildir, öyle olsa bile onlar bunun galilei kinematiklerinin görelilik kinematikleri tarafından "yıkıldığının" çok iyi farkındalar

• Dust solution
• Gödel dust solution