Spin-yörünge etkileşimi

${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}},}$

μ manyetik momenttir, B manyetik alandır.

İlk önce mayetik alanı çözmemiz gerekiyor. Çekirdeğin çerçevesinin geri kalanından başka manyetik alan olmamasına rağmen, elektron çerçevesinden geri kalanından bir tanesinde vardır. Şimdilik eylemsizlik çerçevesini ihmal ediyoruz.

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=-{{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}} \over c^{2}},}$

v elektronun hızı, E elektrik alanı. Elektril alanı radyal yani şu şekilde de yazılabilir. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=\left|E/r\right|{\boldsymbol {r}}}$ . Aynı zamanda elektronun momentini de biliyoruz ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m_{\text{e}}{\boldsymbol {v}}}$. Yerine koyarak

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}} \over m_{\text{e}}c^{2}}\left|{E \over r}\right|.}$

Şimdi elektrik potansiyelinin meyilini açıklayacağız. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}V}$. Elektrostatik potansiyel küresel simetriye sahiptir yani sadece yarıçap için bir fonksiyondur. Bu yaklaşım hidrojen ve hidrojen sistmelerinden kesindir.

${\displaystyle \left|E\right|={\partial V \over \partial r}={1 \over e}{\partial U(r) \over \partial r},}$

${\displaystyle U=eV}$ merkez alandaki elektronun Potansiyel enerjisidir. e temel yüktür. Şimdi klasik mekanikten hatırlamamız gereken şey açısal momentumdur ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={1 \over m_{\text{e}}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}{\boldsymbol {L}}.}$

Burada önemli olan şey ise L ile çarpılan B nin pozitif olmasıdır.Yani manyetik alan yörüngesel açısal devinirliğe paraleldir bu da demek oluyor ki parçacığın hızına diktir.

Elektronun manyetik moment:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{S}\mu _{B}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }}.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ dönüşüm açısal momenti, ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ Bohr magnetonu, ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$ elektron dönüşü. ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ negatif katsayı spin ile çarpılan. Yani manyetik alan dönüşüm açısal momentine anti paraleldir. Spin yörünge iki bölümden oluşmaktadır. Birincisi Larmor bölümü, elektronun manyetik momenti ile çekirdeğin manyetik alanı ile etkileşimdedir. İkinci kısımsa Thomas devinimi ile ilgilidir.

Larmor enerji etkileşimi:

${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}.}$

Manyetik alan ve manyetik momenti yerleştirdiğimiz zaman:

${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={2\mu _{\text{B}} \over \hbar m_{\text{e}}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}{\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}.}$

Şimdi elektronun eğik yörüngesindeki düzeltme için Thomas devinimini işin içine sokmalıyız.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}={\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ Thomas devinimi oranı, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ yörüngesel hareketin açısal frekansı, ${\displaystyle \gamma }$ Lorenz faktörü. Hamiltonain ürünü:

${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot {\boldsymbol {S}}.}$

Birinci dereceden elde edilen:

${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\mu _{\text{B}} \over \hbar m_{\text{e}}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}{\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}.}$

${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\mu _{\text{B}} \over \hbar m_{\text{e}}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}{\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}.}$

Thomas deviniminin net etkisi, Larmor enerji etkileşiminin ½ kat azıdır ki bu da yarım Thomas olarak bilinir.

Tüm yukarıdaki yaklaşımlar sayesinde bu modeldeki enerji değişimini detaylı bir şekilde hesaplayabiliriz. Önce H₀ ve ΔH temelini bulacağız. Bunun içinde toplam açısal momentum fonksiyonunu bulacağız.

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}.}$

Noktasal çarpımını aldığımızda:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}={\boldsymbol {L}}^{2}+{\boldsymbol {S}}^{2}+2{\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

L ve S değişeceğinden:

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}={1 \over 2}({\boldsymbol {J}}^{2}-{\boldsymbol {L}}^{2}-{\boldsymbol {S}}^{2})}$

Beş tane fonksiyon gösterilebilir bunlar H₀, J² , L², S² ve J_z. Hepsi ΔH ve birbiri ile değiştirebilir. Temel parçalar beş tane kuantum sayısına sahiptir. n (prensip kuantum sayısı), j (toplam açısal momentum kuantum sayısı), l (yörüngesel açısal momentum kuantum sayısı), s (spin kuantum sayısı) ve j_z (açısal momentumun z bileşeni). Enerjiyi hesaplamak için:

${\displaystyle \left\langle {1 \over r^{3}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}}$

Hidrojenik dalga fonksiyonu ${\displaystyle a=\hbar /Z\alpha m_{\text{e}}c}$ ( bohr yarıçapı, nükleer yüke bölünür) ve:

${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {L}}\cdot {\boldsymbol {S}}\right\rangle ={1 \over 2}(\langle {\boldsymbol {J}}^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {L}}^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {S}}^{2}\rangle )}$

${\displaystyle ={\hbar ^{2} \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

${\displaystyle \Delta E={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

Yani:

${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$