Schnorr imzası

• İmza modelinin tüm kullanıcıları ayrık logaritmik problemin zor olduğu ${\displaystyle q}$ asal sıradaki ${\displaystyle g}$ üreticisiyle ${\displaystyle G}$ grubu üzerine anlaşırlar. Grup olarak genellikle Schnorr grubu kullanılır.
• Tüm kullanıcılar bir kriptografik hash fonksiyonu üzerinde anlaşırlar: ${\displaystyle H:\{0,1\}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} _{q}}$.

Aşağıda,

• Üs, grup işleminin uygulanmasının tekrarlı yapılması anlamına gelir.
• Dizme, uyum sınıfları kümesi veya grup işleminin uygulaması (duruma göre) üzerinde çarpma işlemini simgeler.
• Çıkartma, denklik grupları üzerinde çıkartma işlemini nitelendirir.
• ${\displaystyle M\in \{0,1\}^{*}}$, sonlu bit kümeleridir
• ${\displaystyle s,e,e_{v}\in \mathbb {Z} _{q}}$, mod ${\displaystyle q}$ için uyum sınıflarıdır.
• ${\displaystyle x,k\in \mathbb {Z} _{q}^{\times }}$, mod ${\displaystyle q}$ için tam sayıların çarpımsal grubudur. (${\displaystyle q}$ asalı için, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{q}^{\times }=\mathbb {Z} _{q}\setminus {\overline {0}}_{q}}$)
• ${\displaystyle y,r,r_{v}\in G}$.

• İzin verilen kümeden imzalama için ${\displaystyle x}$ gizli anahtarı seçilir.
• Doğrulama açık anahtarı ise ${\displaystyle y=g^{x}}$.

M mesajını imzalamak için:

• İzin verilen kümeden rastgele bir ${\displaystyle k}$ seçilir.
• ${\displaystyle r=g^{k}}$ bulunur.
• ${\displaystyle e=H(M||r)}$ bulunur.Buradaki || birleştirmeyi gösterir ve ${\displaystyle r}$ bit katarı olarak temsil edilir.
• ${\displaystyle s=(k-xe)}$ hesaplanır.

İmza çifti ${\displaystyle (s,e)}$'dir

${\displaystyle s,e\in \mathbb {Z} _{q}}$ olduğunu unutmayın; eğer ${\displaystyle q<2^{160}}$ ise imza gösterimi 40 byte'a sığabilir.

• ${\displaystyle r_{v}=g^{s}y^{e}}$ bulunur.
• ${\displaystyle e_{v}=H(M||r_{v})}$ hesaplanır.

Eğer ${\displaystyle e_{v}=e}$ ise imza doğrulanmış demektir.

Eğer imzalanmış mesaj doğrulanmış mesaja eşitse ${\displaystyle e_{v}=e}$ olduğunu görmek nispeten kolaydır:

${\displaystyle r_{v}=g^{s}y^{e}=g^{k-xe}g^{xe}=g^{k}=r}$, ve böylece ${\displaystyle e_{v}=H(M||r_{v})=H(M||r)=e}$.

Açık elemanlar: ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle r}$. Gizli elemanlar: ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle x}$.

Schnorr imzalama metodu için bilinen kriptografik varsayım standartları altında güvenliğinin bir kanıtı yoktur.

İmzalama metodu, Schnorr'un kimlik protokolüne Fiat-Shamir Dönüşümü uygulanması ile oluşturulmuştur. Bu nedenle (her Fiat ve Shamir'in değişkenleri için), eğer ${\displaystyle H}$ rastgele oracle gibi modellenmiş ise bu yöntem güvenlidir.

Bu güvenlik de ${\displaystyle H}$'nin "rastgele-önek ters görüntü kümesi dayanıklılığı" ve "rastgele-önek ikinci- ters görüntü kümesi dayanıklılığı" altındaki genel grup modelinde iddia edilebilir. Özellikle ${\displaystyle H}$'nin çarpışma dayanıklılığına ihtiyacı yoktur.