Levi-Civita bağlantısı

Diyelimki (M,g) bir Riemannyen manifold (veya sözde-Riemannyen manifold) olsun. O zaman bir ilgin bağlantı ∇ eğer

1. bu metrik korunursa, yani, ∇g = 0.
2. Bu torsiyonsuzdur yani herhangi vektör alanları X ve Y için elimizde ∇_XY − ∇_YX = [X,Y] ise,(burada [X,Y] , X ve Y vektör alanı nìn Lie braketi dir).

bu bir Levi-Civita bağlantısıdır Yukarìda durum 1 bazı kaynaklara göre metrik ile uyumlu ve durum 2 bazen simetridir, bkz. Do Carmo'nun notları.

Varsayalım bir Levi-Civita bağlantısı var bu teklik belirler. Durum 1 kullanılır ve metrik tensör g nin simetrisini buluruz:

${\displaystyle X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(Y,X))=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Durum 2'nin sağ el tarafı şuna eşittir:

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$

böylece

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\frac {1}{2}}\{X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y)\}.}$

buluruz

Dolayısıyla Z keyfidir, bu teklik(eşsizlik) belirler ∇_XY. karsit bir tanım olarak son çizgi kullanılan tek gösterilen bu ifadesi bu şekilde tanımlanan metrik ile uyumlu bir bağlantıdır, yani bir Levi-Civita bağlantısıdır.

Diyelimki ∇ Riemanniyen metrik bağlantısı olsun.Yerel koordinatları ${\displaystyle x^{1}\ldots x^{n}}$ olarak seçelim ve diyelim ki ${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}}$ sırasıyla bu koordinatların Christoffel sembolleri olsun. Torsiyonsuz durum 2 o zaman simetriye eşittir

${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}=\Gamma ^{l}{}_{kj}.}$

Yukarıda Levi-Civita bağlantısının türevlerinin tanımı metriğin terimleri içinde bir Christoffel sembolü tanımına eşittir

${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}={\tfrac {1}{2}}\sum _{r}g^{lr}\left\{\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right\}}$

burada ${\displaystyle g^{ij}}$ olarak kullanılan çift metrik tensörün katsayılarıdır, yani matrisin tersinin girişleri ${\displaystyle (g_{kl})}$.

Levi-Civita bağlantısı (herhangi ilgin bağlantı gibi) ayrıca bir eğri boyunca tanımlanan türevdir, bazen D ile gösterilir.

(M,g) üzerinde verilen bir düzgün eğri γ ve bir vektör alanı V boyunca γ nın türevi

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$ ile tanımlanır

(Resmiyette D geri-çekme demeti γ*TM üzerinde geri-çekme bağlantısıdır.)

Özel olarak, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ bir vektör alanı boyunca eğrilik γ dir. Eğer ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ yokolursa,eğriye eşdeğişkin türevin bir jeodeziği denir.

Eşdeğişkin türevin belli bir ölçüsünün Levi-Civita bağlantısı ise, bağlantı için geodezikler o zaman kendi yay uzunluğuyla orantılı ölçeklendirilmiş olan metrikin geodezikleri tam olarak budur .

Genel olarak, bir bağlantı ile ilgili olarak, bir eğri boyunca paralel taşınım eğrinin noktalarında tanjant uzaylar arasında eş yapılar(izomorfizmler) tanımlar.Bağlantı Levi-Civita bağlantısı ise, o zaman bu izomorfizmalar diktir- yani, onların çeşitli tanjant uzaylarda iç çarpımları korunur.

Levi-Civita bağlantısının paralel taşınımının aşağıda gösterilen görüntüleri düzlem üzerinde iki farklı Riemann metriği ile ilişkilidir; ve Kutupsal koordinatlar da ifade edilir. Soldaki görüntünün metriği standard Öklid uzunluğuna karşılık gelirken, sağdaki metrik kutupsal koordinatlardaki standart formdur, ve böylece sunulan ${\displaystyle \partial /\partial _{\theta }}$ vektörü çembere teğettir. Bu metrikte Öklidyen koordinatların merkezinde bir tekillik vardır

Levi-Civita Baglantisi altinda paralel tasinim

Bu tasinim ds² = dr² + r²dθ² metrigi ile verilir .

Bu tasinim ds² = dr² + dθ²metrigi ile verilir

Diyelim ki R³ üzerinde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ skaler çarpımı kullanılıyor olsun. Diyelim ki S² R³ içinde birim küre olsun.m noktasında S² ya tanjant uzayı m e tüm ortogonal vektörlerin oluşturduğu R³'ün vektör alt-uzayı ile doğal denkliktir. Bu aşağıda S² üzerinde bir Y vektör alanı ,Y göndermesi olarak gösterilebilir: S² → R³, bu doyurucudur

${\displaystyle \langle Y(m),m\rangle =0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.}$

gibi bir göndermenin diferansiyeli dY ile ifade edilir. O zaman elimizde olan :

Soru: formül

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X)+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$

S² üzerinde bir afin bağlantı ile tanımlanan torsiyon yok olur.

Kanıt: Bunu basitçe kanıtlamak için basit ∇ Leibniz özdeşliği doyurucudur ve ilk değişken içinde C^∞(S²) doğrusaldır.Ayrıca bu bağlantının torsiyon serbest olduğunu göstermek için basit bir bir hesap işidir. Yani burada ispat gerektiğini her şeyden önce formülün aslında bir vektör alanını tanımlar olmasıdır. Yani, Bunun S²'de tüm m için olduğunu kanıtlamak gerekir

${\displaystyle \langle \left(\nabla _{X}Y\right)(m),m\rangle =0\qquad (1).}$

gönderme düşünüldüğünde

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {S} ^{2}\to \mathbf {R} \\m\mapsto \langle Y(m),m\rangle .\end{cases}}}$

Gönderme fsabittir, bundan dolayı onun diferensiyeli kaybolur. Özel olarak

${\displaystyle d_{m}f(X)=\langle d_{m}Y(X),m\rangle +\langle Y(m),X(m)\rangle =0.}$

Denklem (1) yukarıda alttadır.${\displaystyle \Box }$

Aslında, Bu bağlantı Levi-Civita bağlantısı S² üzerindeki metrik için R³'den devralınandır. Gerçekten de, bu bağlantının metrik korur olduğunu kontrol edebilirsiniz.

• Afin bağlantı
• Weitzenböck bağlantısı

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Levi-Civita connection", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• MathWorld: Levi-Civita Connection7 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• PlanetMath: Levi-Civita Connection26 Ekim 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Levi-Civita connection7 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at the Manifold Atlas