Christoffel sembolleri

${\displaystyle x^{i}}$ koordinatlarından oluşan ${\displaystyle i=1,2,3...n}$ için M üzerine n boyutlu birçok katlı verilsin. O halde baz vektörler:

${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle ={\partial \over \partial x^{i}}=\partial _{i},i=1,2..n}$

Baz vektörleri tanımladığımıza göre metrik tensörü inşa edebiliriz:

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\otimes e_{j}}$

ve onun tersi:

${\displaystyle g^{ij}={1 \over g_{ij}}}$

Kovaryant baz vektörünü şu biçimde de yazabiliriz:

${\displaystyle e^{j}=e_{j}g^{ji}}$ ${\displaystyle i=1,2..n}$

Bazı kaynaklarda ${\displaystyle e_{i}}$ yerine ${\displaystyle g_{i}}$ yazabilir.İkisi de aynı şeyi temsil eder.

Öklit uzayında Cristoffel sembollerinin genel ifadesi dışında 2. gösterim türü aşağıda verilmiştir:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\partial e_{i} \over \partial x^{j}}e_{k}}$${\displaystyle ={\partial e_{i} \over \partial x^{j}}.g^{km}e_{m}}$ (Burada Einstein toplama kuralı kullanılmıştır.)

Christoffel sembollerinin ilk türü ise indislerin düşmesi ile açıklanabilir:

${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{ij}^{m}g_{mk}={\partial e_{i} \over \partial x^{j}}.e^{m}.g_{mk}=}$${\displaystyle {\partial e_{i} \over \partial x^{j}}.e_{k}}$

Ve şu durumu görebiliriz:

${\displaystyle {\partial e_{i} \over \partial x^{j}}=\Gamma _{ij}^{k}.e_{k}=\Gamma _{ijk}.e^{k}}$

Demek istediğimizi sözlü olarak açıklarsak Christoffel sembolleri tarafından temsil edilen baz vektörlerin noktadan noktaya nasıl değiştiğini izler. 2. türdeki semboller değişimi tek baz vektöre göre ayrıştırırken 1. türdekiler onu iki baz vektöre göre ayrıştırır. 2 tür sembollerde de bir şart dahilinde simetri vardır:

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}$ ise

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$ ve ${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$ olur.

Sebebi:

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\otimes e_{j}={\partial \over \partial x^{i}}\otimes {\partial \over \partial x^{j}}}$ ${\displaystyle =g_{ji}=e_{j}\otimes e_{i}={\partial \over \partial x^{j}}\otimes {\partial \over \partial x^{i}}}$

${\displaystyle {\partial e_{j} \over \partial x^{i}}={\partial \over \partial x^{i}}(e_{j})}$${\displaystyle ={\partial \over \partial x^{i}}({\partial \over \partial x^{j}})={\partial \over \partial x^{j}}}$${\displaystyle ({\partial \over \partial x^{i}})={\partial \over \partial x^{j}}(e_{i})}$${\displaystyle ={\partial e_{i} \over \partial x^{j}}}$

${\displaystyle {\partial e_{j} \over \partial x^{i}}=\Gamma _{ij}^{k}e_{k}}$ ve ${\displaystyle {\partial e_{i} \over \partial x^{j}}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}$ o halde:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma _{ab}^{d}}$ve ${\displaystyle \Gamma _{cab}={1 \over 2}({\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}+{\partial g_{cb} \over \partial x^{a}}}$${\displaystyle -{\partial g_{ab} \over \partial x^{c}})}$ sebebi.:

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}=}$${\displaystyle {\partial \over \partial x^{b}}(e_{c}\otimes e_{a})={\partial e_{c} \over \partial x^{b}}e_{a}+}$${\displaystyle e_{c}{\partial e_{a} \over \partial x^{b}}}$

Biliyoruz ki ${\displaystyle {\partial e_{c} \over \partial x^{b}}=\Gamma _{cb}^{d}.e_{d}}$ ve ${\displaystyle {\partial e_{a} \over \partial x^{b}}=\Gamma _{ab}^{d}.e_{d}}$, o halde:

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}=(\Gamma _{cb}^{d}.e_{d}).e_{a}+e_{c}(\Gamma _{ab}^{d}.e_{d})}$

Baz vektörleri içeri alıp Christoffel sembolünü dışarı çıkartırsak amacımıza ulaşmış oluruz:

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}=(e_{a}.e_{d})\Gamma _{cb}^{d}.+(e_{c}.e_{d})\Gamma _{ab}^{d}}$

${\displaystyle e_{a}.e_{d}=g_{ad}}$ ve ${\displaystyle e_{c}.e_{d}=g_{cd}}$ olduğuna göre

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}=g_{ad}\Gamma _{cb}^{d}+g_{cd}\Gamma _{ab}^{d}}$ olacaktır.

Aynı şekilde

ve ${\displaystyle {\partial g_{cb} \over \partial x^{a}}=\Gamma _{ca}^{d}g_{bd}+\Gamma _{ba}^{d}g_{dc}}$

${\displaystyle {\partial g_{ab} \over \partial x^{c}}=\Gamma _{ac}^{d}g_{db}+\Gamma _{bc}^{d}g_{ad}}$

Fark ettiyseniz her ikisinden birisi birbirinin simetriğidir.

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}+{\partial g_{bc} \over \partial x^{a}}-}$${\displaystyle {\partial g_{ab} \over \partial x^{c}}=}$${\displaystyle g_{ad}\Gamma _{cb}^{d}+g_{cd}\Gamma _{ab}^{d}}$${\displaystyle +\Gamma _{ca}^{d}g_{bd}+\Gamma _{ba}^{d}g_{dc}}$${\displaystyle -\Gamma _{ac}^{d}g_{db}-\Gamma _{bc}^{d}g_{ad}}$ simetrik olduğu için:

=${\displaystyle \Gamma _{ba}^{d}g_{dc}+\Gamma _{ab}^{d}g_{dc}=2\Gamma _{ba}^{d}g_{dc}}$ dolayısıyla:

${\displaystyle {\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}+{\partial g_{bc} \over \partial x^{a}}}$${\displaystyle -{\partial g_{ab} \over \partial x^{c}}=}$${\displaystyle 2\Gamma _{ab}^{d}g_{cd}}$

2'yi karşıya attığımızda

${\displaystyle {1 \over 2}({\partial g_{ca} \over \partial x^{b}}+{\partial g_{cb} \over \partial x^{a}}-}$${\displaystyle {\partial g_{ab} \over \partial x^{c}})=\Gamma _{ab}^{d}g_{cd}=\Gamma _{cab}}$