Jeodezik eğrilik

Riemann geometrisi'nde bir $\gamma$ eğrisinin ölçüsü jeodezik eğrilik olan $k_{g}$ den ne kadar uzak bir jeodezik olduğunu gösterir. Verilen bir ${\bar {M}}$ manifoldunda jeodezik eğrilik, $\gamma$ 'nın eğriliği(aşağı bakınız)sadece sıradandır., ama $\gamma$ bir ${\bar {M}}$ nin bir $M$ altmanifoldu üzerinde yatanla sınırlıysa(yani yüzey üzerinde eğrilik için), $M$ içindeki $\gamma$ nın eğriliğine kaynak jeodezik eğrilik ve o genel ${\bar {M}}$ manifoldu çevresi içinde $\gamma$ eğriliğinden farklıdır. $\gamma$ nın eğriliği $k_{n}$ ile iki faktör üzerinde bağlıdır: $\gamma$ nın yönü içinde $M$ altmanifoldunun eğriliği (normal eğrilik $k_{n}$ ), bu yalnızca eğrinin yönünden bağımlıdır,ve $\gamma$ 'nın eğriliği $M$ (jeodezik eğrilik $k_{g}$ ) içinde gösterilen bir ikinci derece niceliktir. Burada aradaki ilişki $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}$ dır.Özel olarak $M$ üzerinde sıfır jeodezik eğrilikler var (bu "düz"dür), böylece $k=k_{n}$ , Bu alt manifoldu olduğu zaman işte bu nedenle ortam uzayda eğimli görünür .

Tanım

Bir ${\bar {M}}$ ,manifoldu içinde $\gamma$ eğriliği yay uzunluğu ile birim tanjant vektör $T=d\gamma /ds$ ile ölçeklenir Bu eğrilik $T$ : $k=\|DT/ds\|$ in kovaryant türev normudur.Eğer $M$ üzerine $\gamma$ yatıyorsa jeodezik eğrilik altmanifolda tanjant uzay üzerinde kovaryant türev $DT/ds$ nin izdüşümünün normudur. Tersine normal eğrilik altmanifolda normal demeti üzerinde düşünülen noktada $DT/ds$ in izdüşüm normudur

Eğer manifold çevresi öklidyen $\mathbb {R} ^{n}$ uzayı , ise kovaryant türev $DT/ds$ ifadesi $dT/ds$ in sadece genel türevidir.

Örnek

Diyelimki $M$ üç boyutlu Öklid uzayı birim küre $S^{2}$ içindedir. $S^{2}$ nin normal eğriliği 1'e eştir, düşünülen yön bağımsızdır. Büyük çember $k=1$ ,eğriliği var.bu yüzden sıfır jeodezik eğrilik var, ve bunun için jeodeziklerdir. Yarıçapı daha küçük çember $r$ eğriliği $1/r$ ve jeodezik eğrilik $k_{g}={\sqrt {1-r^{2}}}/r$ olacak.

Jeodezik eğriliklerin bazı sonuçları

jeodezik eğrilik $M$ altmanifoldu içinde içsel eğrilik hesaplandığında genel eğriliğin dışındadır. ${\bar {M}}$ içinde oturan $M$ alt manifoldu yolu üzerinde bağımlı değildi.* $M$ in jeodeziklerinin sıfır jeodezik eğriliği var, bunun söylenene eşdeğeri bu $DT/ds$ ifadesi $M$ tanjant uzaya ortogonaldir*Öte yandan normal eğrilik altmanifold çevre uzayda yatar kadar sıkı sıkıya bağlıdır, fakat marjinal bir eğri üzerinde $k_{n}$ yalnızca altmanifold üzerinde nokta üzerinde bağlıdır ve $T$ ,yönü ama $DT/ds$ üzerinde değil*Genel Riemannian geometrisinde,türev çevre manifoldu ${\bar {\nabla }}$ in Levi-Civita bağlantısı hesabı için kullanılır : $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ .Bu, alt-manifoldu bir teğet bölümü ve bir doğal parçası halinde böler: ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ . $M$ içinde $\nabla _{T}T$ teğet kısmı olağan türevidir (bu Gauss-Codazzi denklemleri Gauss denkleminin özel bir durumudur.), eğer normal kısım $\mathrm {I\!I} (T,T)$ ise burada $\mathrm {I\!I}$ ikinci temel form olarak ifade edilir.
Gauss–Bonnet teoremi.

Ayrıca bakınız

Eğrilik
Darboux çerçevesi
Gauss–Codazzi denklemleri

Kaynakça

do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7* Guggenheimer, Heinrich (1977), "Surfaces", Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7.* Slobodyan, Yu.S. (2001), "Geodesic curvature", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104.

Dış bağlantılar

Eric W. Weisstein, Geodesic curvature (MathWorld)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.