Hodgkin-Huxley modeli

Hodgkin-Huxley modelinde uyarılabilir hücreler elektronik devre elemanları şeklinde modellenir. Kapasitif özellikleri olan çift katlı lipit katmanı bir kapasitör ile gösterilir (C_m). Voltaj geçiti ve sızıntı iyon kanalları ise sırasıyla doğrusal olmayan (g_n) ve doğrusal (g_L) iletkenleri ile modellenir. Elektrokimyasal gradyanlar piller ile (E) ve iyon pompaları ise akım kaynakları (I_p) ile gösterilir. Membran potansiyeli ise V_m ile gösterilebilir.[2]

Devre teorisi'ndeki kapasitörün akım ve voltaj ilişkisinden yola çıkılarak çift katlı lipit katmanındaki akım I_C şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle I_{C}=C_{m}{\frac {dV_{m}}{dt}}}$

İyon kapılarındaki akım ise ilgili i iyonunun kondüktansı g_i ve ilgili Nernst potansiyeli V_i cinsinden yazılır:

${\displaystyle I_{i}=g_{i}(V_{m}-V_{i})}$

Nernst ya da denge potansiyeli, geçirgen bir zarda bir iyonun difüzyonu ile oluşan akımın sıfırlandığı voltajı belirtir. Nernst denklemi ile türetilebilen ve iyonlara göre farklılık gösteren bu potansiyel belli bir iyonu dengeleyen voltaj sınırı olarak da tanımlanabilir. Örnek olarak, sodyum (K) ve potasyum (Na) kanallarının olduğu bir hücrede toplam akım şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {dV_{m}}{dt}}+g_{K}(V_{m}-V_{K})+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})}$

Bu denklemde I alan başına düşen akımı, C_m alan başına düşen kapasitansı ve g_K ile g_Na ise sırasıyla alan başına düşen potasyum ve sodyum iletkenliğini belirtir. V_K ile V_Na potasyum ve sodyum Nernst potansiyellerini belirtir. g_l ile V_l ise hücre zarından sızan akımın alan başı iletkenliği ve Nernst potansiyelidir. Voltaj kapılı iyon kanallarında iyon iletkenlikleri zaman ve voltaja bağlı bir şekilde modellenir.[2]

Hodgkin-Huxley modelinde ilk 50 milisaniyedeki membran potansiyeli v(t) (mV). Sisteme enjekte edilen akım −5 nanoamperden 12 nanoampere kadar değiştirişmiştir. Grafik üç farklı fazdan geçmektedir: an denge fazı, tek dürt fazı ve limit çevrimi.

Hodgkin ile Huxley aksiyon potansiyeli modelini voltaj kıskacı ("voltage clamp") deneylerinden farklı sodyum ve potasyum konsantrasyonları için elde ettikleri verilerle geliştirmiştir.[1] Voltaj kıskacı, membran potansiyelini belli bir değerde sabit tutan ve bu sırada geçen akımı ölçen bir geri besleme devresi olarak tanımlanabilir.[2] Modeli tanımlamak için dört farklı adi diferansiyel denklem yazılabilir:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

Bu formüllerde I alan başına düşen akımı ve ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ile ${\displaystyle \beta _{i}}$ ise bir i iyon kapısı için voltaja bağlı oran değişim katsayılarını gösterir. ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ alan başına düşen maksimum iletkenliktir. n, m ve h kanal açılma istatistiği ile ilgili değerlerdir ve 0 ile 1 arasında değişir; n değeri potasyum kanalının açılma olasılığı ile ilişkili iken m ve h değerleri sodyum kanalının açılma ve kapanma olasılıklarını belirtir. ${\displaystyle p=(n,m,h)}$ değeri için oran katsayıları ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ve ${\displaystyle \beta _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

şeklinde ifade edilir. ${\displaystyle p_{\infty }}$ ile ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$ kanal açılma ve kapanma oranlarının sabit durumdaki değerlerini ifade eder. n, m ve h değerleri için voltaja bağlı oran fonksiyonları Boltzmann denklemleri şeklinde ifade edilebilir; Hodgkin ve Huxley'in 1952'deki yayınında ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ fonksiyonları şu şekilde verilmiştir:[1]

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10-V_{m})}{\exp {\big (}{\frac {10-V_{m}}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25-V_{m})}{\exp {\big (}{\frac {25-V_{m}}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}{\frac {-V_{m}}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}{\frac {-V_{m}}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}{\frac {-V_{m}}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30-V_{m}}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

Bu formüller, fonksiyonların voltaj kıskacı ile elde edilen verilere fit edilmesi ile türetilmiştir.[3] Voltaj kıskacı durumunda ilgili denklemler şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} }).}$

Bu denklemler sayısal türev ile yaklaşık olarak çözümlenebilir. I değerinin sıfırdan farklı değerlere sabitlenmesi ile hücre zarından giren veya çıkan enjekte akım modellenebilir ve buna bağlı olarak oluşan aksiyon potansiyeller gözlemlenebilir. Ek olarak aksiyon potansiyellerin akson ve benzeri hücrelerin zarları boyunca hareketinin modellenmesi için de kablo teorisi gerekir.[2]

İlk yayınlanmasından sonra Hodgkin-Huxley modeli termodinamik[4] ve stokastik[5] etkilerin daha detaylı modellenmesi için geliştirilmiştir. Alternatif modellere Poisson-Nernst-Planck[6] ile FitzHugh-Nagumo modeli örnek verilebilir.[7]

• Kablo teorisi
• Sinirbilim

• Javascript'te interaktif Hodgkin-Huxley modeli simülasyonu28 Ocak 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.