Gül (matematik)

Matematikte gül veya rodonea (Yunanca gül anlamına gelen rodon kelimesinden), kutupsal koordinat sisteminde çizilmiş bir sinüs ya da kosinüs eğrisine denir. Gül eğrisi, aşağıdaki kutupsal denklemle ifade edilir:

\,r=a\cos(k\theta ).

7 yapraklı gül (k=7)

8 yapraklı gül (k=4)

Bazı rasyonel k değerlerine karşılık gelen güller (k=n/d)

Bu denklemde kosinüs yerine sinüs de yazılabilir, ortaya çıkacak eğri kosinüs eğrisinin π/2k radyan kadar döndürülmüş bir kopyası olacaktır. Bunun sebebi de sinüs ve kosinüs arasındaki şu ilişkidir:

\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right).

Gül eğrisi aynı zamanda, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğrunun üzerinde sinüs/kosinüs dalgası şeklinde ileri geri hareket eden bir noktanın izleyeceği eğridir.

Denklemdeki a değeri gülün şeklini değil, bir bütün olarak büyüklüğünü (yani yaprakların uzunluğunu) etkiler.

Eğer k bir tek sayı ise, gül şeklinin tamamen çizilmesi için θ'nın π uzunluğunda bir interval boyunca ilerlemesi yeterlidir, ve ortaya çıkacak gül k yapraklı olacaktır. Yok eğer k bir çift sayı ise, şeklin tamamen çizilmesi için θ'nın 2π uzunluğunda bir intervalde ilerlemesi gerekir, ve ortaya çıkacak gül 2k yapraklı olacaktır. Burada ilginç bir nokta şudur: Herhangi bir tek sayının iki katı kadar (2, 6, 10, 14, 18, vs.) yaprağı olan bir gül çizilemez.

Elbette k bir tam sayı olmak zorunda değildir, rasyonel ya da irrasyonel de olabilir. Eğer k bir rasyonel sayı ise, ortaya çıkan eğri topolojik anlamda kapalı ve sonlu uzunlukta olacaktır. k irrasyonel ise, eğri kapalı olmayacak, ve uzunluğu sonsuz olacaktır.

Bu eğrilere gül ismini veren, 18. yüzyıl İtalyan matematikçisi Guido Grandi'dir.[1]

Alan

Eğer k bir çift sayı ise,

\,r=a\cos(k\theta )

eşitliğiyle tanımlanan gülün alanı, şöyle hesaplanabilir:

\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a\cos(k\theta )}r\,drd\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}.

Benzer şekilde, eğer k bir tek sayı ise, gülün alanı şu olacaktır:

\int _{0}^{\pi \,}\int _{0}^{a\cos(k\theta )}r\,drd\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}.

Dikkat edilirse, alan formüllerinde k gözükmemektedir, yani güllerin alanları k'nın değerinden bağımsızdır. Ayrıca, çift yapraklı güllerin alanı, tek yapraklı güllerin alanının iki katıdır.

Kaynakça

""Rhodonea Curves"" (İngilizce). 8 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Temmuz 2007.

Dış bağlantılar

MathWorld'den Gül 11 Temmuz 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. sayfası (İngilizce)
Girilen parametrelerle gül çizen Java uygulaması 27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ""Rhodonea Curves"" (İngilizce). 8 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Temmuz 2007.